Se nos da una bolsa de azúcar, una balanza de dos platos y una pesa de $1$ gramo. ¿Cómo obtenemos $1$ kilogramo de azúcar en el menor número posible de pesajes?

¿Para qué disposiciones de dos cilindros circulares infinitos su intersección se encuentra en un plano?

Sea $m$ un polígono convexo en un plano, $l$ su perímetro y $S$ su área. Sea $M(R)$ el lugar geométrico de todos los puntos en el espacio cuya distancia a $m$ es $\leq R$, y $V(R)$ es el volumen del sólido $M(R)$. \n\na.) Demostrar que \[V (R) = \frac 43 \pi R^3 +\frac{\pi}{2} lR^2 +2SR.\]\n\nAquí, decimos que la distancia de un punto $C$ a una figura $m$ es $\leq R$ si existe un punto $D$ de la figura $m$ tal que la distancia $CD$ es $\leq R$. (Este punto $D$ puede estar en la frontera de la figura $m$ y dentro de la figura.)\n\npregunta adicional:\n\nb.) Encontrar el área de la vecindad plana $R$ de un polígono convexo o no convexo $m$.\n\nc.) Encontrar el volumen de la vecindad $R$ de un poliedro convexo, por ejemplo, de un cubo o de un tetraedro.\n\nNota de Darij: Supongo que la ''vecindad $R$'' de una figura se define como el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a la figura es $\leq R$.

Demuestre la desigualdad \[\tan \frac{\pi \sin x}{4\sin \alpha} + \tan \frac{\pi \cos x}{4\cos \alpha} >1\] para cualquier $x, \alpha$ con $0 \leq x \leq \frac{\pi }{2}$ y $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{3}.$

Dados $5$ puntos en el plano, no tres de ellos siendo colineales. Demuestre que entre estos $5$ puntos, siempre podemos encontrar $4$ puntos formando un cuadrilátero convexo.

Un prisma triangular regular tiene la altura $h,$ y las dos bases del prisma son triángulos equiláteros con longitud de lado $a.$ Se hacen orificios de ensueño en los centros de ambas bases, y las tres caras laterales son espejos. Asuma que un rayo de luz, entrando al prisma a través del orificio de ensueño en la base superior, luego siendo reflejado una vez por cualquiera de los tres espejos, sale del prisma a través del orificio de ensueño en la base inferior. Encuentre el ángulo entre la base superior y el rayo de luz en el momento en que el rayo de luz entró al prisma, y la longitud del camino del rayo de luz en el interior del prisma.

Dados $n$ números positivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ tales que $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}=1.$ Demuestra \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{n}\right) \geq 2^{n}.\]

Dados $n>3$ puntos en el plano tales que no tres de los puntos son colineales. ¿Existe un círculo que pase por (al menos) $3$ de los puntos dados y que no contenga ningún otro de los $n$ puntos en su interior?

Sea $AB$ un diámetro de un círculo; sean $t_1$ y $t_2$ las tangentes en $A$ y $B$, respectivamente; sea $C$ cualquier punto que no sea $A$ en $t_1$; y sean $D_1D_2. E_1E_2$ arcos en el círculo determinados por dos líneas que pasan por $C$. Demuestre que las líneas $AD_1$ y $AD_2$ determinan un segmento en $t_2$ igual en longitud al segmento en $t_2$ determinado por $AE_1$ y $AE_2$.

Sea $S$ un conjunto de 1980 puntos en el plano tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos 1. Demostrar que $S$ tiene un subconjunto de 220 puntos tal que la distancia entre cada par de ellos es al menos $\sqrt{3}.$