Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $ '').

Sean $ABCD$ y $A^{\prime }B^{\prime}C^{\prime }D^{\prime }$ dos paralelogramos arbitrarios en el espacio, y sean $M$, $N$, $P$, $Q$ puntos que dividen los segmentos $AA^{\prime }$, $BB^{\prime }$, $CC^{\prime }$, $DD^{\prime }$ en razones iguales. \na.) Demuestre que el cuadrilátero $MNPQ$ es un paralelogramo.\nb.) ¿Cuál es el lugar geométrico del centro del paralelogramo $MNPQ$, cuando el punto $M$ se mueve en el segmento $AA^{\prime }$? (Los vértices consecutivos de los paralelogramos están etiquetados en orden alfabético.

Dado un círculo $K$ con centro $S$ y radio $1$ y un cuadrado $Q$ con centro $M$ y lado $2$. Sea $XY$ la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles $XYZ$. Describa el lugar geométrico de los puntos $Z$ cuando $X$ varía a lo largo de $K$ e $Y$ varía a lo largo de la frontera de $Q$.

Dados cuatro puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D$ en un círculo tales que $AB$ es un diámetro y $CD$ no es un diámetro. Demuestra que la línea que une el punto de intersección de las tangentes al círculo en los puntos $C$ y $D$ con el punto de intersección de las líneas $AC$ y $BD$ es perpendicular a la línea $AB.$

¿Cuál es el número máximo de regiones en que un círculo puede ser dividido por segmentos que unen $n$ puntos en el borde del círculo?

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales positivos. Demuestra la desigualdad \[\binom n2 \sum_{i<j} \frac{1}{a_ia_j} \geq 4 \left( \sum_{i<j} \frac{1}{a_i+a_j} \right)^2\]

Encuentra dígitos $x, y, z$ tales que la igualdad \[\sqrt{\underbrace{\overline{xx\cdots x}}_{2n \text{ veces}}-\underbrace{\overline{yy\cdots y}}_{n \text{ veces}}}=\underbrace{\overline{zz\cdots z}}_{n \text{ veces}}\] se cumple para al menos dos valores de $n \in \mathbb N$, y en ese caso encuentra todos los $n$ para los cuales esta igualdad es verdadera.

¿Existe un entero $z$ que puede escribirse de dos maneras diferentes como $z = x! + y!$, donde $x, y$ son números naturales con $x \le y$?

¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $x = 1964 \sin x - 189$?

Encontrar $x$ tal que trigonométrico \[\frac{\sin 3x \cos (60^\circ -4x)+1}{\sin(60^\circ - 7x) - \cos(30^\circ + x) + m}=0\] donde $m$ es un número real fijo.