En el plano, considere un círculo con centro $S$ y radio $1.$ Sea $ABC$ un triángulo arbitrario que tiene este círculo como su incírculo, y asuma que $SA\leq SB\leq SC.$ Encuentre el lugar geométrico de a.) todos los vértices $A$ de tales triángulos; b.) todos los vértices $B$ de tales triángulos; c.) todos los vértices $C$ de tales triángulos.

Dado un punto $P$ que se encuentra en una línea $g,$ y dado un círculo $K.$ Construya un círculo que pase por el punto $P$ y que toque el círculo $K$ y la línea $g.$

Demostrar la desigualdad a.) $ \left( a_{1}+a_{2}+...+a_{k}\right) ^{2}\leq k\left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}\right) , $ donde $k\geq 1$ es un número natural y $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{k}$ son números reales arbitrarios. b.) Usando la desigualdad (1), demuestre que si los números reales $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ satisfacen la desigualdad \[ a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq \sqrt{\left( n-1\right) \left( a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right) }, \] entonces todos estos números $a_{1},$ $a_{2},$ $\ldots,$ $a_{n}$ son no negativos.

Demuestre que \[\tan 7 30^{\prime }=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2.\]

Hay $n\geq 2$ personas en una reunión. Demuestre que existen dos personas en la reunión que tienen el mismo número de amigos entre las personas en la reunión. (Se asume que si $A$ es amigo de $B,$ entonces $B$ es amigo de $A;$ además, nadie es su propio amigo.)

Tres caras de un tetraedro son triángulos rectángulos, mientras que la cuarta no es un triángulo obtuso. (a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la cuarta cara sea un triángulo rectángulo es que en algún vértice exactamente dos ángulos sean rectos. (b) Demuestre que si todas las caras son triángulos rectángulos, entonces el volumen del tetraedro es igual a un sexto del producto de las tres aristas más pequeñas que no pertenecen a la misma cara.

Sean $P$ y $P^{\prime }$ dos paralelogramos con áreas iguales, y sean las longitudes de sus lados $a,$ $b$ y $a^{\prime },$ $b^{\prime }.$ Asuma que $a^{\prime }\leq a\leq b\leq b^{\prime },$ y además, es posible colocar el segmento $b^{\prime }$ de tal manera que se encuentre completamente en el interior del paralelogramo $P.$ Demuestre que el paralelogramo $P$ se puede dividir en cuatro polígonos de tal manera que estos cuatro polígonos se puedan componer nuevamente para formar el paralelogramo $P^{\prime }.$

Demuestre que el volumen $V$ y el área lateral $S$ de un cono circular recto satisfacen la desigualdad \[\left( \frac{6V}{\pi}\right)^2 \leq \left( \frac{2S}{\pi \sqrt 3}\right)^3\] ¿Cuándo se da la igualdad?

Dados tres rectángulos congruentes en el espacio. Sus centros coinciden, pero los planos en los que se encuentran son mutuamente perpendiculares. Para dos cualquiera de los tres rectángulos, la línea de intersección de los planos de estos dos rectángulos contiene una paralela media de un rectángulo y una paralela media del otro rectángulo, y estas dos paralelas medias tienen diferentes longitudes. Considere el poliedro convexo cuyos vértices son los vértices de los rectángulos. \na.) ¿Cuál es el volumen de este poliedro?\nb.) ¿Puede este poliedro resultar ser un poliedro regular? Si es así, ¿cuál es la condición para que este poliedro sea regular?

Construya un triángulo dados los radios de los excírculos.