Dos círculos concéntricos tienen radios $R$ y $r$ respectivamente. Determinar el mayor número posible de círculos que son tangentes a ambos círculos y mutuamente no intersecantes. Demostrar que este número se encuentra entre $\frac 32 \cdot \frac{\sqrt R +\sqrt r }{\sqrt R -\sqrt r } -1$ y $\frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}.$

Demostrar que las cuatro perpendiculares trazadas desde los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cíclico a los lados opuestos respectivos son concurrentes. Nota de Darij: Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo. Demostrar que los centroides de los triángulos $ABC,$ $CDA,$ $BCD,$ $DAB$ se encuentran en un círculo.

Sea $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ un polinomio con coeficientes enteros $a$, $b$, $c$, $d$ tal que $ad$ es un número impar y $bc$ es un número par. Demostrar que (al menos) una raíz del polinomio es irracional.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $\left( x; y\right) $ que satisfacen la ecuación $2^{x}=3^{y}+5.$

Dado dos círculos internamente tangentes; en el más grande inscribimos un triángulo equilátero. Desde cada uno de los vértices de este triángulo, trazamos una tangente al círculo más pequeño. Demostrar que la longitud de una de estas tangentes es igual a la suma de las longitudes de las otras dos tangentes.

Las longitudes de los lados $a$, $b$, $c$ de un triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética (tal que $b-a=c-b$). Las longitudes de los lados $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$ de un triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ también forman una progresión aritmética (con $b_{1}-a_{1}=c_{1}-b_{1}$). [Por lo tanto, $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, $a_{1}=B_{1}C_{1}$, $b_{1}=C_{1}A_{1}$, $c_{1}=A_{1}B_{1}$.] Además, sabemos que $\measuredangle CAB=\measuredangle C_{1}A_{1}B_{1}$. Demostrar que los triángulos $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ son similares.

Resolver la ecuación $|x^2 -1|+ |x^2 - 4| = mx$ como una función del parámetro $m$. ¿Qué pares $(x,m)$ de enteros satisfacen esta ecuación?

Sea $n$ un entero positivo, pruebe que : (a) $\log_{10}(n + 1) > \frac{3}{10n} +\log_{10}n ;$ (b) $ \log n! > \frac{3n}{10}\left( \frac 12+\frac 13 +\cdots +\frac 1n -1\right).$

Un número natural dado $N$ se está descomponiendo en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentre todas esas descomposiciones para $N=500.$ b.) ¿Cuántas descomposiciones de este tipo tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen sumandos naturales solamente? c.) Determine el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera como un número natural.