¿Para qué números reales $p$ la ecuación $x^{2}+px+3p=0$ tiene soluciones enteras?

Considere todos los segmentos que dividen el área de un triángulo $ABC$ en dos partes iguales. Encuentre la longitud del segmento más corto entre ellos, si las longitudes de los lados $a,$ $b,$ $c$ del triángulo $ABC$ son dados. ¿Cuántos de estos segmentos más cortos existen?

Sean $a,b,c$ reales y \[f(a, b, c) = \left| \frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} -\frac 2c \right| +\frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} +\frac 2c\]. Demuestra que $f(a, b, c) = 4 \max \{\frac 1a, \frac 1b,\frac 1c \}.$

Un alfabeto consta de $n$ letras. ¿Cuál es la longitud máxima de una palabra si sabemos que dos letras consecutivas $a,b$ de la palabra son diferentes y que la palabra no se puede reducir a una palabra del tipo $abab$ con $a\neq b$ eliminando letras?

¿Cuál es el mayor número de bolas de radio $1/2$ que se pueden colocar dentro de una caja rectangular de tamaño $10 \times 10 \times 1$?

Dados $5$ puntos en un plano, no tres de ellos siendo colineales. Cada dos de estos $5$ puntos están unidos con un segmento, y cada uno de estos segmentos está pintado de rojo o azul; asuma que no hay triángulo cuyos lados son segmentos de igual color. a.) Demuestre que: (1) Entre los cuatro segmentos que se originan en cualquiera de los $5$ puntos, dos son rojos y dos son azules. (2) Los segmentos rojos forman un camino cerrado que pasa por todos los $5$ puntos dados. (Similarmente para los segmentos azules.) b.) Dé un plan de cómo pintar los segmentos de rojo o azul para tener la condición (ningún triángulo con lados del mismo color) satisfecha.

Dada una secuencia finita de enteros $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ para $n\geq 2.$ Demuestre que existe una subsecuencia $a_{k_{1}},$ $a_{k_{2}},$ $...,$ $a_{k_{m}},$ donde $1\leq k_{1}<k_{2}<...<k_{m}\leq n,$ tal que el número $a_{k_{1}}^{2}+a_{k_{2}}^{2}+...+a_{k_{m}}^{2}$ es divisible por $n.$

Dado un $n$-gono regular $A_{1}A_{2}...A_{n}$ (con $n\geq 3$ ) en un plano. ¿Cuántos triángulos del tipo $A_{i}A_{j}A_{k}$ son obtusos?

Para un número real positivo $p$ , encuentre todas las soluciones reales a la ecuación $\sqrt{x^2 + 2px - p^2} -\sqrt{x^2 - 2px - p^2} =1.$

Considere un círculo con centro $O$ y radio $R,$ y sean $A$ y $B$ dos puntos en el plano de este círculo. a.) Trace una cuerda $CD$ del círculo tal que $CD$ sea paralelo a $AB,$ y el punto de la intersección $P$ de las líneas $AC$ y $BD$ se encuentre en el círculo. b.) Demostrar que, en general, se obtienen dos puntos posibles $P$ ( $P_{1}$ y $P_{2}$ ) que satisfacen la condición del problema anterior, y calcular la distancia entre estos dos puntos, si se dan las longitudes $OA=a,$ $OB=b$ y $AB=d$.