En un concurso de matemáticas, se plantearon tres problemas, $A,B,C$. Entre los participantes había 25 estudiantes que resolvieron al menos un problema cada uno. De todos los concursantes que no resolvieron el problema $A$, el número que resolvió $B$ fue el doble del número que resolvió $C$. El número de estudiantes que resolvieron solo el problema $A$ fue uno más que el número de estudiantes que resolvieron $A$ y al menos otro problema. De todos los estudiantes que resolvieron solo un problema, la mitad no resolvió el problema $A$. ¿Cuántos estudiantes resolvieron solo el problema $B$?

¿Es posible elegir un conjunto de $100$ (o $200$) puntos en la frontera de un cubo tal que este conjunto sea fijo bajo cada isometría del cubo en sí mismo? Justifica tu respuesta.

En un tetraedro, los tres pares de aristas opuestas (oblicuas) son mutuamente perpendiculares. Demuestra que los puntos medios de las seis aristas del tetraedro se encuentran en una esfera.

Dado el vértice $A$ y el centroide $M$ de un triángulo $ABC$ , encuentre el lugar geométrico de los vértices $B$ tal que todos los ángulos del triángulo se encuentren en el intervalo $[40^\circ, 70^\circ].$

Tomamos $100$ números naturales consecutivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{100}.$ Determine los dos últimos dígitos del número $a_{1}^{8}+a_{2}^{8}+...+a_{100}^{8}.$

Demuestre que en todo hexágono convexo de área $S$ se puede trazar una diagonal que corte un triángulo de área que no exceda $\frac{1}{6}S.$

Una figura con área $1$ se recorta de papel. Dividimos esta figura en $10$ partes y las coloreamos en $10$ colores diferentes. Ahora, volteamos el trozo de papel, dividimos la misma figura en el otro lado del papel en $10$ partes nuevamente (de alguna manera diferente). Demuestre que podemos colorear estas nuevas partes con los mismos $10$ colores nuevamente (por la presente, diferentes partes deben tener diferentes colores) de tal manera que la suma de las áreas de todas las partes de la figura coloreadas con el mismo color en ambos lados sea $\geq \frac{1}{10}.$

Considere $n$ estudiantes con números $1, 2, \ldots, n$ de pie en el orden $1, 2, \ldots, n.$ Tras una orden, cualquiera de los estudiantes permanece en su lugar o cambia su lugar con otro estudiante. (En realidad, si el estudiante $A$ cambia su lugar con el estudiante $B,$ entonces $B$ ya no puede cambiar su lugar con ningún otro estudiante $C$ hasta que llegue la siguiente orden.) ¿Es posible organizar a los estudiantes en el orden $n,1, 2, \ldots, n-1$ después de dos órdenes?

Para cualquier cuadrilátero con las longitudes de los lados $a,$ $b,$ $c,$ $d$ y el área $S,$ demuestre la desigualdad $S\leq \frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}.$

Dos paredes de espejo se colocan para formar un ángulo de medida $\alpha$ . Hay una vela dentro del ángulo. ¿Cuántos reflejos de la vela puede ver un observador?