Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que la desigualdad \[ f(x^2)-f(y^2) \le (f(x)+y)(x-f(y)) \] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$ .

Sea $n \ge 3$ un entero. Zagi la ardilla se sienta en un vértice de un $n$ - gon regular. Zagi planea hacer un viaje de $n-1$ saltos de tal manera que en el $i$ - ésimo salto, salta $i$ aristas en el sentido de las agujas del reloj, para $i \in \{1, \ldots,n-1 \}$ . Demuestre que si después de $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil$ saltos Zagi ha visitado $\lceil \tfrac{n}{2} \rceil+1$ vértices distintos, entonces después de $n-1$ saltos Zagi habrá visitado todos los vértices. ( Nota. Para un número real $x$ , denotamos por $\lceil x \rceil$ el entero más pequeño mayor o igual a $x$ . )

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $D$ un punto interior del segmento $BC$ . Los puntos $E$ y $F$ se encuentran en el semiplano determinado por la línea $BC$ que contiene a $A$ tal que $DE$ es perpendicular a $BE$ y $DE$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ACD$ , mientras que $DF$ es perpendicular a $CF$ y $DF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $ABD$ . Demuestre que los puntos $A, D, E$ y $F$ son concíclicos.

Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Algunos cuadrados de un tablero de $m \times n$ están coloreados de rojo. Una secuencia $a_1, a_2, \ldots , a_{2r}$ de $2r \ge 4$ cuadrados rojos distintos por pares se llama circuito de alfil si para cada $k \in \{1, \ldots , 2r \}$ , los cuadrados $a_k$ y $a_{k+1}$ se encuentran en una diagonal, pero los cuadrados $a_k$ y $a_{k+2}$ no se encuentran en una diagonal (aquí $a_{2r+1}=a_1$ y $a_{2r+2}=a_2$ ) . En términos de $m$ y $n$ , determine el número máximo posible de cuadrados rojos en un tablero de $m \times n$ sin un circuito de alfil. ( Nota. Dos cuadrados se encuentran en una diagonal si la línea que pasa por sus centros interseca los lados del tablero en un ángulo de $45^\circ$ . )

Determine todos los números reales $A$ tales que cada secuencia de números reales no nulos $x_1, x_2, \ldots$ que satisfaga \[ x_{n+1}=A-\frac{1}{x_n} \] para cada entero $n \ge 1$ , tenga solo un número finito de términos negativos.

Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en el interior de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de este triángulo. Demostrar que el área de al menos uno de los tres triángulos $ AQR$ , $ BRP$ , $ CPQ$ es menor o igual a un cuarto del área del triángulo $ ABC$ . Formulación alternativa: Sea $ ABC$ un triángulo, y sean $ P$ , $ Q$ , $ R$ tres puntos en los segmentos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Demostrar que $ \min\left\{\left|AQR\right|,\left|BRP\right|,\left|CPQ\right|\right\}\leq\frac14\cdot\left|ABC\right|$ , donde la abreviatura $ \left|P_1P_2P_3\right|$ denota el área (no dirigida) de un triángulo arbitrario $ P_1P_2P_3$ .

Resolver el sistema de ecuaciones \[ |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4=1 \] \[ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4=1 \] \[ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4=1 \] \[ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3=1 \] donde $a_1, a_2, a_3, a_4$ son cuatro números reales diferentes.

Demostrar que para cada número natural $n$ , y para cada número real $x \neq \frac{k\pi}{2^t}$ ( $t=0,1, \dots, n$ ; $k$ cualquier entero) \[ \frac{1}{\sin{2x}}+\frac{1}{\sin{4x}}+\dots+\frac{1}{\sin{2^nx}}=\cot{x}-\cot{2^nx} \]

Demuestra que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular desde el centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices desde cualquier otro punto en el espacio.

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo, y $\alpha, \beta, \gamma$ respectivamente, los ángulos opuestos a estos lados. Demuestra que si \[ a+b=\tan{\frac{\gamma}{2}}(a\tan{\alpha}+b\tan{\beta}) \] el triángulo es isósceles.