Sea $n$ un entero positivo. Un conjunto finito de enteros se llama $n$ - dividido si hay exactamente $n$ formas de dividir este conjunto en dos subconjuntos con sumas iguales. Por ejemplo, el conjunto $\{1, 3, 4, 5, 6, 7\}$ es $2$ - dividido porque las únicas formas de dividirlo en dos subconjuntos con sumas iguales es dividiéndolo en $\{1, 3, 4, 5\}$ y $\{6, 7\}$ , o $\{1, 5, 7\}$ y $\{3, 4, 6\}$ . Encuentre todos los enteros $n > 0$ para los cuales existe un conjunto $n$ - dividido.

Sea $n > 3$ un entero positivo. Encuentre todos los enteros $k$ tales que $1 \le k \le n$ y para los cuales se cumple la siguiente propiedad: Si $x_1, . . . , x_n$ son $n$ números reales tales que $x_i + x_{i + 1} + ... + x_{i + k - 1} = 0$ para todos los enteros $i > 1$ (los índices se toman módulo $n$ ) , entonces $x_1 = . . . = x_n = 0$ .

Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida.\n(a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ .\n(b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones.\n(Para cualquier número real $y$ , por $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el entero más grande $m$ tal que $m \le y$ . )

Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $n^2$ escrito en base $4$ contiene solo dígitos $1$ y $2$ .

Encuentre todos los pares $(n, p)$ de enteros positivos tales que $p$ es primo y \[ 1 + 2 + \cdots + n = 3 \cdot (1^2 + 2^2 + \cdot + p^2). \]

Sea $ABC$ un triángulo y sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ . Sea $X$ un punto en el rayo $AB$ tal que $2 \angle CXA=\angle CMA$ . Sea $Y$ un punto en el rayo $AC$ tal que $2 \angle AYB=\angle AMB$ . La línea $BC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ en $P$ y $Q$ , tal que los puntos $P, B, C$ , y $Q$ se encuentran en este orden en la línea $BC$ . Demuestre que $PB=QC$ .

Sea $AD$ el diámetro de la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Las líneas que pasan por $D$ paralelas a $AB$ y $AC$ se encuentran con las líneas $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Las líneas $EF$ y $BC$ se encuentran en $G$ . Demuestre que $AD$ y $DG$ son perpendiculares.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que en un $6n$ - gon regular, podemos dibujar $3n$ diagonales con extremos distintos por pares y dividir las diagonales dibujadas en $n$ trillizos de modo que: las diagonales en cada trillizo se intersecan en un punto interior del polígono y todos estos $n$ puntos de intersección son distintos.

Sean $n, b$ y $c$ enteros positivos. Un grupo de $n$ piratas quiere dividir justamente su tesoro. El tesoro consiste en $c \cdot n$ monedas idénticas distribuidas en $b \cdot n$ bolsas, de las cuales al menos $n-1$ bolsas están inicialmente vacías. El Capitán Jack inspecciona el contenido de cada bolsa y luego realiza una secuencia de movimientos. En un movimiento, puede tomar cualquier número de monedas de una sola bolsa y ponerlas en una bolsa vacía. Demuestre que no importa cómo se distribuyan inicialmente las monedas, Jack puede realizar a lo sumo $n-1$ movimientos y luego dividir las bolsas entre los piratas de tal manera que cada pirata obtenga $b$ bolsas y $c$ monedas.

Dado un entero positivo $n$ , decimos que un polinomio $P$ con coeficientes reales es $n$ - bonito si la ecuación $P(\lfloor x \rfloor)=\lfloor P(x) \rfloor$ tiene exactamente $n$ soluciones reales. Demuestre que para cada entero positivo $n$ existe un polinomio n-bonito; cualquier polinomio $n$ - bonito tiene un grado de al menos $\tfrac{2n+1}{3}$ . ( Nota. Para un número real $x$ , denotamos por $\lfloor x \rfloor$ el entero más grande menor o igual a $x$ . )