Encuentra todos los pares de enteros $(x, y)$ tales que $x^2 + 5y^2 = 2021y$.

Dragos, el antiguo gobernante de Moldavia, y María la Oráculo juegan el siguiente juego. En primer lugar, María elige un conjunto $S$ de números primos. Luego Dragos da una secuencia infinita $x_1, x_2, ...$ de enteros positivos distintos. Luego María elige un entero positivo $M$ y un número primo $p$ de su conjunto $S$. Finalmente, Dragos elige un entero positivo $N$ y el juego termina. Dragos gana si y solo si para todos los enteros $n \ge N$ el número $x_n$ es divisible por $p^M$; de lo contrario, María gana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora si el conjunto S debe ser: a ) finito; b ) infinito?

Para cualquier conjunto $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ de cinco enteros positivos distintos, denotamos por $S_A$ la suma de sus elementos, y denotamos por $T_A$ el número de ternas $(i, j, k)$ con $1 \le i < j < k \le 5$ para las cuales $x_i + x_j + x_k$ divide a $S_A$. Encuentra el mayor valor posible de $T_A$.

Los números reales $x, y$ y $z$ son tales que $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.\na) Determine los valores posibles más pequeño y más grande de $xy + yz - xz$.\nb) Demuestre que no existe una tripleta $(x, y, z)$ de números racionales, que alcance cualquiera de los dos valores en a).

Encuentra todos los enteros positivos $a, b, c$ tales que $ab + 1$, $bc + 1$ y $ca + 1$ sean todos iguales a factoriales de algunos enteros positivos.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncírculo $\omega$. Sean $P$ y $Q$ puntos interiores de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$. Sea $L$ un punto en $\omega$ tal que $AL$ es paralelo a $BC$. Los segmentos $BQ$ y $CP$ se intersecan en $S$. La línea $LS$ interseca a $\omega$ en $K$. Demuestra que $\angle BKP = \angle CKQ$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$. Sea $E$ el punto de intersección de $BC$ con $AD$ y sea $M$ el punto medio de $AE$. En la extensión de $CD$, más allá del punto $D$, elegimos un punto $Z$ tal que $MZ = \frac{AE}{2}$. Sean $U$ y $V$ las proyecciones de $A$ y $E$ respectivamente sobre $BZ$. El circuncírculo del triángulo $DUV$ se encuentra nuevamente con $AE$ en el punto $L$. Si $I$ es el punto de intersección de $BZ$ con $AE$, demuestre que las líneas $BL$ y $CI$ se intersecan en la línea $AZ$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\omega$ y circuncentro $O$. La perpendicular desde $A$ a $BC$ interseca a $BC$ y $\omega$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $F$ un punto en el segmento $AE$, tal que $2 \cdot FD = AE$. Sea $l$ la perpendicular a $OF$ a través de $F$. Demuestra que $l$, la tangente a $\omega$ en $E$, y la línea $BC$ son concurrentes.

Sea $P$ un punto interior del triángulo isósceles $ABC$ con $\hat{A} = 90^{\circ}$ . Si $$\widehat{PAB} + \widehat{PBC} + \widehat{PCA} = 90^{\circ},$$ demuestre que $AP \perp BC$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ . Las líneas $BC$ y $AO$ se intersecan en $E$ . Sea $s$ la línea que pasa por $E$ perpendicular a $AO$ . La línea $s$ interseca a $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Denotemos por $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AKL$ . La línea $AD$ interseca a $\omega$ de nuevo en $X$ . Demuestre que $\omega$ y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $DEX$ tienen un punto en común.