Un entero positivo $n$ es tripariable si es posible particionar el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ en pares disjuntos tales que la suma de dos elementos en cada par es una potencia de $3$ . Por ejemplo, $6$ es tripariable porque $\{1, 2, \dots, n\}=\{1,2\}\cup\{3,6\}\cup\{4,5\}$ y $$1+2=3^1,\quad 3+6 = 3^2\quad\text{y}\quad4+5=3^2$$ son todas potencias de 3. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a 2024 son tripariables?

Sean $a,b,c$ números reales mayores que 1 que satisfacen $$\lfloor a\rfloor b = \lfloor b \rfloor c = \lfloor c\rfloor a.$$ Demuestre que $a=b=c$ (Aquí, $\lfloor x \rfloor$ denota el entero más grande que es menor o igual que $x$ .)

C6 Dada una tabla de $m \times n$ que consta de $mn$ celdas unitarias. Alicia y Bob juegan el siguiente juego: Alicia va primero y quien se mueva colorea una de las celdas vacías con uno de los tres colores dados. Alicia gana si hay una figura, como las que se muestran a continuación, que tiene tres colores diferentes. De lo contrario, Bob es el ganador. Determinar el ganador para todos los casos de $m$ y $n$ donde $m, n \ge 3$. Propuesto por Toghrul Abbasov, Azerbaiyán

Sea $M$ un subconjunto del conjunto de $2021$ enteros $\{1, 2, 3, ..., 2021\}$ tal que para cualesquiera tres elementos (no necesariamente distintos) $a, b, c$ de $M$ tenemos $|a + b - c | > 10$. Determina el mayor número posible de elementos de $M$.

Alice y Bob juegan un juego juntos como un equipo en un tablero de $100 \times 100$ con todos los cuadrados unitarios inicialmente blancos. Alice configura el juego coloreando exactamente $k$ de los cuadrados unitarios de rojo al principio. Después de eso, un movimiento legal para Bob es elegir una fila o columna con al menos $10$ cuadrados rojos y colorear todos los cuadrados restantes en ella de rojo. ¿Cuál es el $k$ más pequeño tal que Alice pueda configurar un juego de tal manera que Bob pueda colorear todo el tablero de rojo después de un número finito de movimientos?

Tenemos un conjunto de $343$ jarras cerradas, cada una conteniendo canicas azules, amarillas y rojas con el número de canicas de cada color siendo al menos $1$ y a lo más $7$. No hay dos jarras que tengan exactamente el mismo contenido. Inicialmente todas las jarras están con las tapas hacia arriba. Dar vuelta una jarra significará cambiar su posición de tapa hacia arriba a tapa hacia abajo o viceversa. Se permite elegir una terna de enteros positivos $(b; y; r) \in \{1; 2; ...; 7\}^3$ y dar vuelta todas las jarras cuyo número de canicas azules, amarillas y rojas difieren en no más de $1$ de $b, y, r$, respectivamente. Después de $n$ movimientos todas las jarras resultaron estar con las tapas hacia abajo. Encuentra el número de todos los valores posibles de $n$, si $n \le 2021$.

Sea $n$ un entero positivo. Se nos da un tablero de $3n \times 3n$ cuyos cuadrados unitarios están coloreados en blanco y negro de tal manera que, comenzando con el cuadrado superior izquierdo, cada tercera diagonal está coloreada en negro y el resto del tablero está en blanco. En un movimiento, uno puede tomar un cuadrado de $2 \times 2$ y cambiar el color de todos sus cuadrados de tal manera que los cuadrados blancos se vuelvan naranjas, los naranjas se vuelvan negros y los negros se vuelvan blancos. Encuentra todos los $n$ para los cuales, usando un número finito de movimientos, podemos hacer que todos los cuadrados que inicialmente eran negros se vuelvan blancos, y todos los cuadrados que inicialmente eran blancos se vuelvan negros.

En Mathcity, hay infinitos autobuses e infinitas estaciones. Las estaciones están indexadas por las potencias de $2: 1, 2, 4, 8, 16, ...$ Cada autobús pasa por un número finito de estaciones, y el número del autobús es la suma de todas las estaciones por las que pasa. Para simplificar, el alcalde de Mathcity desea que los números de los autobuses formen una progresión aritmética con diferencia común $r$ y cuyo primer término sea el número favorito del alcalde. ¿Para qué enteros positivos $r$ es siempre posible que, sin importar el número favorito del alcalde, dados $m$ estaciones, haya un autobús que pase por todas ellas?

Alice elige un número primo $p > 2$ y luego Bob elige un entero positivo $n_0$. Alice, en el primer movimiento, elige un entero $n_1 > n_0$ y calcula la expresión $s_1 = n_0^{n_1} + n_1^{n_0}$; luego Bob, en el segundo movimiento, elige un entero $n_2 > n_1$ y calcula la expresión $s_2 = n_1^{n_2} + n_2^{n_1}$; etc. uno por uno. (Cada jugador conoce los números elegidos por el otro en los movimientos anteriores). El ganador es el que primero elige el número $n_k$ tal que $p$ divide a $s_k(s_1 + 2s_2 + · · · + ks_k)$. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Dado un entero positivo $n \ge 2$, definimos $f(n)$ como la suma de todos los restos obtenidos al dividir $n$ por todos los enteros positivos menores que $n$. Por ejemplo, dividiendo $5$ entre $1, 2, 3$ y $4$ tenemos restos iguales a $0, 1, 2$ y $1$ respectivamente. Por lo tanto, $f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4$. Encuentra todos los enteros positivos $n \ge 3$ tales que $f(n) = f(n - 1) + (n - 2)$.