Sea $ABC$ un triángulo con semiperímetro $s$ y radio interior $r$ . Los semicírculos con diámetros $BC$ , $CA$ , $AB$ se dibujan en el exterior del triángulo $ABC$ . El círculo tangente a todos estos tres semicírculos tiene radio $t$ . Pruebe que \[\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r. \]

Cada par de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de sus longitudes. Pruebe que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Sean $D_1$ , $D_2$ , ..., $D_n$ discos cerrados en el plano. (Un disco cerrado es la región limitada por un círculo, tomado conjuntamente con este círculo). Suponga que cada punto en el plano está contenido en a lo sumo $2003$ discos $D_i$ . Demuestre que existe un disco $D_k$ que interseca a lo sumo $7\cdot 2003 - 1 = 14020$ otros discos $D_i$ .

Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ . Demuestra que existen números $t_1$ , $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] son disjuntos dos a dos.

El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. Sea $n$ un entero positivo impar y sea $$\nf_n(x,y,z) = x^n + y^n + z^n + (x+y+z)^n.\n$$(a) Demuestre que existen infinitos valores de $n$ tales que $$ f_n(x,y,z) \equiv (x+y)(y+z)(z+x) g_n(x,y,z) h_n(x,y,z) \pmod{2},\n$$ para algunos polinomios enteros $g_n(x,y,z)$ y $h_n(x,y,z)$ , ninguno de los cuales es constante módulo 2. $(b)$ Determine todos los valores de $n$ tales que $$ f_n(x,y,z) \equiv (x+y)(y+z)(z+x) g_n(x,y,z) h_n(x,y,z) \pmod{2},\n$$ para algunos polinomios enteros $g_n(x,y,z)$ y $h_n(x,y,z)$ , ninguno de los cuales es constante módulo 2. (Dos polinomios enteros son $\emph{congruentes módulo 2}$ si cada coeficiente de su diferencia es par. Un polinomio es $\emph{constante módulo 2}$ si es congruente a un polinomio constante módulo 2.)

Sea $\mathcal{L}$ el conjunto de todas las líneas en el plano y sea $\mathcal{P}$ el conjunto de todos los puntos en el plano. Determine si existe una función $g : \mathcal{L} \to \mathcal{P}$ tal que para cualesquiera dos líneas no paralelas distintas $\ell_1, \ell_2 \in \mathcal{L}$ , tenemos $(a)$ $g(\ell_1) \neq g(\ell_2)$ , y $(b)$ si $\ell_3$ es la línea que pasa por $g(\ell_1)$ y $g(\ell_2)$ , entonces $g(\ell_3)$ es la intersección de $\ell_1$ y $\ell_2$ .

Determine todas las funciones continuas $f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}$ que satisfacen $$\nf(x) = (x+1) f(x^2),\n$$ para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .

Alicia tiene seis cajas etiquetadas del 1 al 6. Ella elige en secreto exactamente dos de las cajas y coloca una moneda dentro de cada una. Bob está tratando de adivinar qué dos cajas contienen las monedas. Cada vez que Bob adivina, lo hace tocando exactamente dos de las cajas. Alicia luego responde diciéndole el número total de monedas dentro de las dos cajas que tocó. Bob encuentra con éxito las dos monedas cuando Alicia responde con el número 2. ¿Cuál es el entero positivo más pequeño $n$ tal que Bob siempre puede encontrar las dos monedas en como máximo $n$ intentos?

Defina una secuencia por $s_0 = 1$ y para $d \geq 1$ , $s_d = s_{d-1} + X_d$ , donde $X_d$ se elige uniformemente al azar del conjunto $\{1, 2, \dots, d\}$ . ¿Cuál es la probabilidad de que la secuencia $s_0, s_1, s_2, \dots$ contenga infinitos primos?

Sea $W$ un entero positivo fijo. Sea $S$ el conjunto de todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $a \neq b$ . Para cada $(a, b) \in S$ , sea $m(a,b)$ el entero más grande que satisface $$\nm(a, b) \leq \frac{1 + na}{1 + nb}\n$$ para todos los enteros $n \geq 1$ . (a) Para cada $(a, b) \in S$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que $$\nm(a,b) \leq \frac{1 + na}{W + nb}\n$$ para todo $n \geq k$ . (b) Para cada $(a, b) \in S$ , sea $k(a,b)$ el valor más pequeño de $k$ que satisface la condición de la parte (a). Determine $\max \{k(a,b) \mid (a,b) \in S \}$ o demuestre que no existe.