Sean $a_{ij}$ $i=1,2,3$ ; $j=1,2,3$ números reales tales que $a_{ij}$ es positivo para $i=j$ y negativo para $i\neq j$ . Demuestre la existencia de números reales positivos $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ tales que los números \[a_{11}c_{1}+a_{12}c_{2}+a_{13}c_{3},\qquad a_{21}c_{1}+a_{22}c_{2}+a_{23}c_{3},\qquad a_{31}c_{1}+a_{32}c_{2}+a_{33}c_{3}\] son todos negativos, todos positivos o todos cero.

Sea $p$ un número primo y sea $A$ un conjunto de enteros positivos que satisface las siguientes condiciones: (i) el conjunto de divisores primos de los elementos en $A$ consta de $p-1$ elementos; (ii) para cualquier subconjunto no vacío de $A$ , el producto de sus elementos no es una potencia $p$ -ésima perfecta. ¿Cuál es el mayor número posible de elementos en $A$ ?

La sucesión $a_0$ , $a_1$ , $a_2,$ $\ldots$ se define como sigue: \[a_0=2, \qquad a_{k+1}=2a_k^2-1 \quad\text{para }k \geq 0.\] Demuestra que si un primo impar $p$ divide a $a_n$ , entonces $2^{n+3}$ divide a $p^2-1$ .

Sea $n$ un entero positivo y sean $(x_1,\ldots,x_n)$ , $(y_1,\ldots,y_n)$ dos sucesiones de números reales positivos. Suponga que $(z_2,\ldots,z_{2n})$ es una sucesión de números reales positivos tal que $z_{i+j}^2 \geq x_iy_j$ para todo $1\le i,j \leq n$ . Sea $M=\max\{z_2,\ldots,z_{2n}\}$ . Demuestre que\n\[ \left( \frac{M+z_2+\dots+z_{2n}}{2n} \right)^2 \ge \left( \frac{x_1+\dots+x_n}{n} \right) \left( \frac{y_1+\dots+y_n}{n} \right). \]

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n- $f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(\sqrt{xy})f(\sqrt{yz})f(\sqrt{zx})$ para todo $x,y,z\in\mathbb{R}^+$ ;\n- $f(x)<f(y)$ para todo $1\le x<y$ .

Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1\le x_2\le\cdots\le x_n$ números reales. Demuestre que\n\[ \left(\sum_{i,j=1}^{n}|x_i-x_j|\right)^2\le\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i,j=1}^{n}(x_i-x_j)^2. \]\nMuestre que la igualdad se cumple si y solo si $x_1, \ldots, x_n$ es una progresión aritmética.

Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.

Cada entero positivo $a$ se somete al siguiente procedimiento para obtener el número $d = d(a)$ : (i) mueva el último dígito de $a$ a la primera posición para obtener el número $b$ ; (ii) eleve al cuadrado $b$ para obtener el número $c$ ; (iii) mueva el primer dígito de $c$ al final para obtener el número $d$ . (Todos los números en el problema se consideran representados en base $10$ . ) Por ejemplo, para $a=2003$ , obtenemos $b=3200$ , $c=10240000$ , y $d = 02400001 = 2400001 = d(2003)$ . ) Encuentre todos los números $a$ para los cuales $d( a) =a^2$ .

Considere la secuencia mod 2004. Es equivalente a la siguiente recurrencia: x_0=1, x_1=2^1, x_2=2^2 ... x_2003=2^2003, x_n=x_n-1 ... + x_n-2004. Entonces la recurrencia es periódica. Así que los términos {1, 1, 2^1 ... 2^2003} ocurren de nuevo en ese orden en algún lugar de la secuencia. Podemos ver que los 2004 términos anteriores son 1, seguidos de 2003 '0's. Así que podemos tener 2003 términos consecutivos todos divisibles por 2004. No podemos tener 2004 tales términos, porque entonces todos los términos siguientes son divisibles por 2004 - lo que entonces contradice la periodicidad de la recurrencia mod 2004. Y hemos terminado.

Sea $m$ un entero fijo mayor que $1$ . La secuencia $x_0$ , $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ se define como sigue: \[x_i = \begin{cases}2^i&\text{si }0\leq i \leq m - 1;\\\sum_{j=1}^mx_{i-j}&\text{si }i\geq m.\end{cases}\] Encuentre el mayor $k$ para el cual la secuencia contiene $k$ términos consecutivos divisibles por $m$ .