Sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todos los polinomios en tres variables $x, y, z$ con coeficientes enteros. Sea $\mathcal{B}$ el subconjunto de $\mathcal{A}$ formado por todos los polinomios que pueden ser expresados como \n\begin{align*}\n(x + y + z)P(x, y, z) + (xy + yz + zx)Q(x, y, z) + xyzR(x, y, z)\n\end{align*} con $P, Q, R \in \mathcal{A}$ . Encuentre el entero no negativo más pequeño $n$ tal que $x^i y^j z^k \in \mathcal{B}$ para todos los enteros no negativos $i, j, k$ que satisfacen $i + j + k \geq n$ .

Sea $n$ un entero positivo, y sea $N=2^{n}$. Determine el número real más pequeño $a_{n}$ tal que, para todo real $x$, \n\[\n\sqrt[N]{\frac{x^{2 N}+1}{2}} \leqslant a_{n}(x-1)^{2}+x .\n\]

Sea $f(k)$ el número de enteros $n$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $0\leq n < 10^k$, por lo que $n$ tiene exactamente $k$ dígitos (en notación decimal), con ceros a la izquierda permitidos; (ii) los dígitos de $n$ se pueden permutar de tal manera que produzcan un entero divisible por $11$. Demuestre que $f(2m) = 10f(2m-1)$ para cada entero positivo $m$.

Cada punto con coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco con radio $1/1000$ .\n(1) Demuestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices se encuentran en discos diferentes.\n(2) Demuestre que cada triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene una longitud de lado mayor que $96$ .

Sean $x_1,\ldots, x_n$ e $y_1,\ldots, y_n$ números reales. Sea $A = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ la matriz con entradas\n\[a_{ij} = \begin{cases}1,&\text{si }x_i + y_j\geq 0;\\0,&\text{si }x_i + y_j < 0.\end{cases}\]\nSuponga que $B$ es una matriz de $n\times n$ con entradas $0$ , $1$ tal que la suma de los elementos en cada fila y cada columna de $B$ es igual a la suma correspondiente para la matriz $A$ . Demuestre que $A=B$ .

Sea $n \geq 5$ un entero dado. Determine el mayor entero $k$ para el cual existe un polígono con $n$ vértices (convexo o no, con frontera sin auto-intersecciones) que tiene $k$ ángulos rectos internos.

Sean $ D_1 $ , $ D_2 $ , ..., $ D_n $ discos cerrados en el plano. (Un disco cerrado es la región limitada por un círculo, tomada conjuntamente con este círculo). Suponga que cada punto en el plano está contenido en como máximo 2003 discos $ D_i $ . Demuestre que existe un disco $ D_k $ que interseca como máximo a $ 7\cdot 2003 - 1 = 14020 $ otros discos $ D_i $ .

Considera pares de secuencias de números reales positivos\n\[a_1\geq a_2\geq a_3\geq\cdots,\qquad b_1\geq b_2\geq b_3\geq\cdots\]\ny las sumas\n\[A_n = a_1 + \cdots + a_n,\quad B_n = b_1 + \cdots + b_n;\qquad n = 1,2,\ldots.\]\nPara cualquier par define $c_n = \min\{a_i,b_i\}$ y $C_n = c_1 + \cdots + c_n$ , $n=1,2,\ldots$ .\n(1) ¿Existe un par $(a_i)_{i\geq 1}$ , $(b_i)_{i\geq 1}$ tal que las secuencias $(A_n)_{n\geq 1}$ y $(B_n)_{n\geq 1}$ son no acotadas mientras que la secuencia $(C_n)_{n\geq 1}$ es acotada?\n(2) ¿Cambia la respuesta a la pregunta (1) asumiendo adicionalmente que $b_i = 1/i$ , $i=1,2,\ldots$ ?\nJustifica tu respuesta.

Encuentra todas las funciones no decrecientes $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que (i) $f(0) = 0, f(1) = 1;$ (ii) $f(a) + f(b) = f(a)f(b) + f(a + b - ab)$ para todos los números reales $a, b$ tales que $a < 1 < b$ .

Primero que todo, si los vectores $\vec {u_i}=(a_{i1},\ a_{i2},\ a_{i3})$ son coplanarios, entonces es fácil mostrar que todos los tres componentes de la solución no nula del sistema $a_{i1}c_i+a_{i2}c_2+a_{i3}c_3=0$ tienen el mismo signo. En este caso encontramos $c_i$ positivos tal que todas esas expresiones son iguales a $0$. Podemos así asumir que los tres vectores no son coplanarios (o, en otras palabras, podemos asumir que son independientes). Tenemos que encontrar tres números positivos $t_i$ tal que todos los componentes de la solución del sistema $a_{i1}c_1+a_{i2}c_2+a_{i3}c_3=t_i$ tienen el mismo signo. En otras palabras, tenemos que encontrar $t_i$ positivos tal que los tres determinantes obtenidos de $\left |\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right |$ al reemplazar una columna con $\left (\begin{array}{c}t_1\\ t_2\\ t_3\end{array} \right )$ tienen el mismo signo. Esto se traduce a que el punto $T(t_1,t_2,t_3)$ está en el interior del triedro determinado por las líneas $OP_1,OP_2,OP_3$ , donde $P_i(a_{1i},a_{2i},a_{3i}$ . No es difícil mostrar que tal punto $T$ existe (por 'triedro' entiendo la figura formada por tres líneas en el espacio, no tres rayos, como usualmente entendemos). Esta es la parte de la que no estoy convencido. Está relacionado al hecho de que el volumen orientado de un tetraedro que tiene a $O$ como vértice depende de la dirección en la que consideramos los tres vértices diferentes de $O$ (dirección horaria/antihoraria). ¿Opiniones?