En el plano, hay $n \geqslant 6$ discos disjuntos por pares $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ con radios $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$ . Para cada $i=1,2, \ldots, n$ , se elige un punto $P_{i}$ en el disco $D_{i}$ . Sea $O$ un punto arbitrario en el plano. Demuestra que \[O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}.\] (Se asume que un disco contiene su frontera.)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$ , $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$ . Denotemos por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ en las líneas $BC$ y $CD$ , respectivamente. Supongamos que los segmentos $AE$ y $AF$ se encuentran con la línea $BD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí.

Considera el cuadrilátero convexo $ABCD$ . El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ . Se cumplen las siguientes igualdades de razones: \[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\] Demuestra que las siguientes tres líneas se encuentran en un punto: las bisectrices internas de los ángulos $\angle ADP$ y $\angle PCB$ y la bisectriz perpendicular del segmento $AB$ .

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número de permutaciones $a_1$ , $a_2$ , $\dots a_n$ de la secuencia $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ que satisfacen $$a_1 \le 2a_2\le 3a_3 \le \dots \le na_n$$ .

Sea $R^+$ el conjunto de números reales positivos. Determine todas las funciones $f:R^+$ $\rightarrow$ $R^+$ tales que para todos los números reales positivos $x$ e $y:$ $$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1$$

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestra que para $a_1, \dots, a_n \in [1,2^k]$ se tiene que \[ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \dots + a_i^2}} \le 4 \sqrt{kn}. \]

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen \[f^{a^{2} + b^{2}}(a+b) = af(a) +bf(b)\] para todos los enteros $a$ y $b$

Una maga tiene la intención de realizar el siguiente truco. Ella anuncia un entero positivo $n$ , junto con $2n$ números reales $x_1 < \dots < x_{2n}$. Un miembro de la audiencia entonces secretamente elige un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \dots , P(x_{2n})$ , y escribe estos $2n$ valores en la pizarra en orden no decreciente. Después de eso la maga anuncia el polinomio secreto a la audiencia. ¿Puede la maga encontrar una estrategia para realizar tal truco?

Los números reales $a, b, c, d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$. Demuestre que \n\[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\]

Suponga que $a,b,c,d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$. Encuentre el menor valor posible de $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$