Dado un entero positivo $k$, demuestra que existe un primo $p$ tal que se pueden elegir enteros distintos $a_1, a_2, \cdots, a_{k+3} \in \{1, 2, \cdots, p-1\}$ tal que $p$ divide a $a_i a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3} - i$ para todo $i = 1, 2, \cdots, k$.

Demuestra que existe una constante positiva $c$ tal que la siguiente afirmación es verdadera: Considera un entero $n > 1$ y un conjunto $\mathcal S$ de $n$ puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos diferentes en $\mathcal S$ es al menos 1. Se deduce que hay una línea $\ell$ que separa a $\mathcal S$ tal que la distancia desde cualquier punto de $\mathcal S$ a $\ell$ es al menos $cn^{-1/3}$. (Una línea $\ell$ separa un conjunto de puntos S si algún segmento que une dos puntos en $\mathcal S$ cruza $\ell$.) Nota. Los resultados más débiles con $cn^{-1/3}$ reemplazado por $cn^{-\alpha}$ pueden ser premiados con puntos dependiendo del valor de la constante $\alpha > 1/3$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Los círculos $\omega_{B}$ que pasan por $B$ y $\omega_{C}$ que pasan por $C$ son tangentes en $I$. Sea $\omega_{B}$ intersectar el arco menor $AB$ de $\Gamma$ en $P$ y $AB$ en $M\neq B$, y sea $\omega_{C}$ intersectar el arco menor $AC$ de $\Gamma$ en $Q$ y $AC$ en $N\neq C$. Los rayos $PM$ y $QN$ se encuentran en $X$. Sea $Y$ un punto tal que $YB$ es tangente a $\omega_{B}$ y $YC$ es tangente a $\omega_{C}$. Demuestra que $A, X, Y$ son colineales.

Sea $P$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$. Sean $D, E, F$ las reflexiones de $P$ en la $A$-línea media, la $B$-línea media y la $C$-línea media. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las bisectrices perpendiculares de $AD, BE, CF$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de $\triangle ADP, \triangle BEP, \triangle CFP$ y $\omega$ comparten un punto común.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , incentro $I$ y $A$ excentro $I_{A}$ . La circunferencia inscrita se encuentra con $BC$ en $D$ . Define $E = AD\cap BI_{A}$ , $F = AD\cap CI_{A}$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\triangle AID$ y $\triangle I_{A}EF$ son tangentes entre sí.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ , y sea $D$ un punto dentro del lado $AB$ tal que $AD< DB$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos dentro de los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$ . Sea la bisectriz perpendicular de $PQ$ que se encuentra con el segmento de línea $CQ$ en $E$ , y sean las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ que se encuentran nuevamente en el punto $F$ , diferente de $C$ . Suponga que $P$ , $E$ , $F$ son colineales. Demuestra que $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

Los jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en una pizarra que inicialmente contiene 2020 copias del número 1 . En cada ronda, el jugador $A$ borra dos números $x$ e $y$ de la pizarra, y luego el jugador $B$ escribe uno de los números $x+y$ y $|x-y|$ en la pizarra. El juego termina tan pronto como, al final de alguna ronda, se cumple una de las siguientes condiciones: $(1)$ uno de los números en la pizarra es mayor que la suma de todos los demás números; $(2)$ solo hay ceros en la pizarra. El jugador $B$ debe darle tantos caramelos al jugador $A$ como números haya en la pizarra. El jugador $A$ quiere obtener tantos caramelos como sea posible, mientras que el jugador $B$ quiere dar lo menos posible. Determina el número de caramelos que recibe $A$ si ambos jugadores juegan de manera óptima.

Considera cualquier tabla rectangular que tenga un número finito de filas y columnas, con un número real $a(r, c)$ en la celda en la fila $r$ y la columna $c$ . Un par $(R, C)$ , donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se llama par de silla si se cumplen las dos condiciones siguientes: $(i)$ Para cada fila $r^{\prime}$ , existe $r \in R$ tal que $a(r, c) \geqslant a\left(r^{\prime}, c\right)$ para todo $c \in C$ ; $(ii)$ Para cada columna $c^{\prime}$ , existe $c \in C$ tal que $a(r, c) \leqslant a\left(r, c^{\prime}\right)$ para todo $r \in R$ . Un par de silla $(R, C)$ se llama par mínimo si para cada par de silla $\left(R^{\prime}, C^{\prime}\right)$ con $R^{\prime} \subseteq R$ y $C^{\prime} \subseteq C$ , tenemos $R^{\prime}=R$ y $C^{\prime}=C$ . Demuestra que dos pares mínimos cualesquiera contienen el mismo número de filas.

Hay $4n$ piedras que pesan $1, 2, 3, \dots, 4n.$ Cada piedra está coloreada con uno de $n$ colores y hay cuatro piedras de cada color. Demuestra que podemos ordenar las piedras en dos montones de manera que se satisfagan las dos condiciones siguientes: El peso total de ambos montones es el mismo. Cada montón contiene dos piedras de cada color.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Los puntos $K, L, M, N$ se eligen en $AB, BC, CD, DA$ tales que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$ . Sean $\omega_A, \omega_B, \omega_C, \omega_D$ las circunferencias inscritas de $\triangle ANK, \triangle BKL, \triangle CLM, \triangle DMN$ . Demuestra que las tangentes internas comunes a $\omega_A$ y $\omega_C$ y las tangentes internas comunes a $\omega_B$ y $\omega_D$ son concurrentes.