Determine todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica.

Considere secuencias infinitas $\{x_n\}$ de reales positivos tales que $x_0=1$ y $x_0\ge x_1\ge x_2\ge\ldots$ . a) Pruebe que para cada secuencia de este tipo existe un $n\ge1$ tal que: \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}\ge3.999. \] b) Encuentre tal secuencia tal que para todo $n$ : \[ {x_0^2\over x_1}+{x_1^2\over x_2}+\ldots+{x_{n-1}^2\over x_n}<4. \]

Sea $K$ un polígono convexo en el plano y suponga que $K$ está posicionado en el sistema de coordenadas de tal manera que \[\text{área } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{área } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Pruebe que si $K$ no contiene ningún punto reticular distinto de cero, entonces el área de $K$ es menor que $4.$

La función $f(n)$ está definida en los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333$ y para todo $m,n:$ \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$ .

Sea $\mathcal{S}$ un conjunto que consta de $n \ge 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos miembros distintos de $\mathcal{S}$ . Demuestre que los elementos de $\mathcal{S}$ pueden ordenarse como $a_1, a_2, \dots, a_n$ de modo que $a_i$ no divida a $a_{i - 1} + a_{i + 1}$ para todo $i = 2, 3, \dots, n - 1$ .

Para un entero positivo $n$ , sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$ , y sea $\varphi(n)$ el número de enteros positivos que no exceden $n$ que son coprimos con $n$ . ¿Existe una constante $C$ tal que $$ \frac {\varphi ( d(n))}{d(\varphi(n))}\le C$$ para todo $n\ge 1$ ?

Determine todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de todos los enteros positivos y que toman valores enteros no negativos, que satisfacen las tres condiciones:\n$(i)$ $f(n) \neq 0$ para al menos un $n$ ;\n$(ii)$ $f(x y)=f(x)+f(y)$ para cada enteros positivos $x$ e $y$ ;\n$(iii)$ hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(k)=f(n-k)$ para todo $k<n$ .

Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n$, sea $d_p (n) \in \{ 0,1, \dots, p-1 \}$ el resto cuando $n$ se divide por $p$. Decimos que $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ es una p-sucesión, si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p$, y $a_{n+1} =a_n + d_p (a_n)$ para $n \geqslant 0$.\n(a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_n >b_n$ para infinitos $n$, y $b_n > a_n$ para infinitos $n$?\n(b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_0 <b_0$, pero $a_n >b_n$ para todo $n \geqslant 1$?

Se da una baraja de $n > 1$ cartas. Un entero positivo está escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números en cada par de cartas es también la media geométrica de los números en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué $n$ se deduce que los números en las cartas son todos iguales?

Para cada primo $p$, construya un grafo $G_p$ en $\{1,2,\ldots p\}$, donde $m\neq n$ son adyacentes si y solo si $p$ divide $(m^{2} + 1-n)(n^{2} + 1-m)$. Demuestre que $G_p$ está desconectado para infinitos $p$.