Sea $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo y sea $A_1$ el circuncentro de $\triangle BCD$ . Defina $B_1, C_1,D_1$ de manera correspondiente. (a) Pruebe que o bien todos los puntos $A_1,B_1, C_1,D_1$ coinciden en un punto, o bien son todos distintos. Asumiendo el último caso, demuestre que $A_1$ , C1 están en lados opuestos de la línea $B_1D_1$ , y similarmente , $ B_1,D_1$ están en lados opuestos de la línea $A_1C_1$ . (Esto establece la convexidad del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ . ) (b) Denotemos por $A_2$ el circuncentro de $B_1C_1D_1$ , y definamos $B_2, C_2,D_2$ de manera análoga. Demuestre que el cuadrilátero $A_2B_2C_2D_2$ es similar al cuadrilátero $ABCD.$

Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ en la bisectriz del ángulo interior del ángulo $A_{i}$ . Pruebe que las líneas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

Se dan cuatro círculos distintos $C,C_1, C_2$ , C3 y una línea L en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ toca a los otros dos, así como a $C$ y $L$ . Asumiendo que el radio de $C$ es $1$ , determina la distancia entre su centro y $L.$

(a) Encuentra la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentra la reordenación que minimiza $Q.$

Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Junto a la caja hay una pila de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se coloca una bola negra de la pila en la caja. Si tienen diferentes colores, la bola blanca se vuelve a colocar en la caja. Este procedimiento se repite hasta que las dos últimas bolas se retiran de la caja y se coloca una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca?

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $P$ un punto dentro de él tal que $\angle PAC = \angle PBC$. Las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $CA$ se encuentran con estas líneas en $L$ y $M$, respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$. Demuestre que $DL = DM$.

Una figura convexa y cerrada se encuentra dentro de un círculo dado. La figura se ve desde cada punto de la circunferencia en un ángulo recto (es decir, los dos rayos trazados desde el punto y que soportan la figura convexa son perpendiculares). Demuestre que el centro del círculo es un centro de simetría de la figura.

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros con coeficiente principal $1$ y con una de sus raíces igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1) + p(-1) - 2(1 + p(0))$.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$. Sea $L$ una trayectoria dentro de $S$ que no se cruza a sí misma y que está compuesta por segmentos de línea $A_0A_1, A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_n$ con $A_0 = A_n$. Suponga que para cada punto $P$ en el borde de $S$ hay un punto de $L$ a una distancia de $P$ no mayor que $\frac{1}{2}$. Demuestre que hay dos puntos $X$ e $Y$ de $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que se encuentra entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$.

Las diagonales $AC$ y $CE$ del hexágono regular $ABCDEF$ están divididas por los puntos interiores $M$ y $N$ respectivamente, de modo que \[ {AM\over AC}={CN\over CE}=r. \] Determine $r$ si $B,M$ y $N$ son colineales.