Pasha y Vova juegan un juego tachando las celdas de un tablero de $3\times 101$ por turnos. Al principio, la celda central está tachada. En un movimiento, el jugador elige la diagonal (puede haber $1, 2$ o $3$ celdas en la diagonal) y tacha las celdas de esta diagonal que aún no han sido tachadas. Al menos una nueva celda debe ser tachada por el movimiento de cualquier jugador. Pasha comienza, el que no puede hacer ningún movimiento pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Los números $1, 2, 3,\ldots, 2\underbrace{00\ldots0}_{100 \text{ ceros}}2$ están escritos en la pizarra. ¿Es posible pintar la mitad de ellos de rojo y los restantes de azul, de modo que la suma de los números rojos sea divisible por la suma de los azules?

En un hexágono convexo, el valor de cada ángulo es $120^{\circ}$. El perímetro del hexágono es igual a $2$. Demuestre que este hexágono se puede cubrir con un triángulo con un perímetro de a lo sumo $3$.

Determine el entero positivo más pequeño $n{}$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: el producto de cualquier $n{}$ enteros positivos impares consecutivos es divisible por $45$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$ , los dos primeros hacia afuera y los otros dos hacia adentro. Demuestre que $MN = AC$ . ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$ ?

Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para cada par $x \in M, y \in M$ con $x < y$ , existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y.$

Sea $O$ un punto del espacio tridimensional y sean $l_1, l_2, l_3$ rectas mutuamente perpendiculares que pasan por $O$ . Sea $S$ la esfera con centro $O$ y radio $R$ , y para cada punto $M$ de $S$ , sea $S_M$ la esfera con centro $M$ y radio $R$ . Denotamos por $P_1, P_2, P_3$ la intersección de $S_M$ con las rectas $l_1, l_2, l_3$ , respectivamente, donde ponemos $P_i \neq O$ si $l_i$ se encuentra con $S_M$ en dos puntos distintos y $P_i = O$ en caso contrario ( $i = 1, 2, 3$ ) . ¿Cuál es el conjunto de centros de gravedad de los triángulos (posiblemente degenerados) $P_1P_2P_3$ cuando $M$ recorre los puntos de $S$ ?

Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son similares y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$ , y también tenemos $ \angle CAB = \angle C_1AB_1$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$ . Demuestre que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares.

Demuestre que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$ , entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$ .

Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional.