Sea $n \leq 100$ un entero. La Liebre coloca números reales en las celdas de una tabla de $100 \times 100$. Al hacerle una pregunta a la Liebre, el Lobo puede averiguar la suma de todos los números de un cuadrado de $n \times n$, o la suma de todos los números de un rectángulo de $1 \times (n - 1)$ (o $(n - 1) \times 1$). Encuentre el mayor $n{}$ tal que, después de varias preguntas, el Lobo puede encontrar los números en todas las celdas, con garantía.

Same as P6 juniors: Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $$\gcd(a, b) + \text{lcm}(a, b) = \gcd(a, c) + \text{lcm}(a, c).$$ ¿Se deduce de esto que $b = c$ ?

Sean $n>k>1$ enteros positivos y sea $G$ un grafo con $n$ vértices tal que entre cualquier $k$ vértices, hay un vértice conectado al resto de los $k-1$ vértices. Encuentre el número mínimo posible de aristas de $G$.

a) Determine si existe un hexágono convexo $ABCDEF$ con $$\angle ABD + \angle AED > 180^{\circ},$$ $$\angle BCE + \angle BFE > 180^{\circ},$$ $$\angle CDF + \angle CAF > 180^{\circ}.$$ b) La misma pregunta, con la condición adicional de que las diagonales $AD, BE,$ y $CF$ son concurrentes.

Se dan reales $a, b$. Demuestre que al menos una de las ecuaciones $x^4-2b^3x+a^4=0$ y $x^4-2a^3x+b^4=0$ tiene una raíz real.

Sean $n{}$ y $m$ enteros positivos, $n>m>1$. Sea $n{}$ dividido por $m$ con cociente parcial $q$ y residuo $r$ (de modo que $n = qm + r$, donde $r\in\{0,1,...,m-1\}$). Sea $n-1$ dividido por $m$ con cociente parcial $q^{'}$ y residuo $r^{'}$. a) Parece que $q+q^{'} =r +r^{'} = 99$. Encuentre todos los valores posibles de $n{}$. b) Demuestre que si $q+q^{'} =r +r^{'}$, entonces $2n$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con la longitud del lado igual a $a+ b+ c$. En el lado $AB{}$ del triángulo $ABC$ se eligen los puntos $C_1$ y $C_2$, en el lado $BC$ se eligen los puntos $A_1$ y $A_2$, y en el lado $CA$ se eligen los puntos $B_1$ y $B_2$ tales que $A_1A_2 = CB_1 = BC_2 = a, B_1B_2 = AC_1 = CA_2 = b, C_1C_2 = BA_1 = AB_2 = c$. Sea el punto $A^{’}$ tal que el triángulo $A^{'} B_2C_1$ es equilátero, y los puntos $A$ y $A^{'}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $B_2C_1$. Del mismo modo, se construyen los puntos $B^{’}$ y $C^{'}$ (el triángulo $B^{'} C_2A_1$ es equilátero, y los puntos $B$ y $B^{’}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $C_2A_1$; el triángulo $C^{'} A_2B_1$ es equilátero, y los puntos $C$ y $C^{'}$ se encuentran en lados diferentes de la línea $A_2B_1$). Demuestre que el triángulo $A^{'}B^{'}C^{'}$ es equilátero.

Sasha tiene $10$ tarjetas con números $1, 2, 4, 8,\ldots, 512$. Escribe el número $0$ en la pizarra e invita a Dima a jugar un juego. Dima dice el entero $0 < p < 10, p$ puede variar de ronda a ronda. Sasha elige $p$ tarjetas antes de las cuales pone un signo ' $+$ ', y antes de las otras tarjetas pone un signo ' $-$ '. El número obtenido se calcula y se añade al número de la pizarra. Encuentre el mayor valor absoluto del número en la pizarra que Dima puede obtener en la pizarra después de varias rondas, independientemente de los movimientos de Sasha.

Sean $a, b, c$ enteros positivos tales que $$\gcd(a, b) + \text{lcm}(a, b) = \gcd(a, c) + \text{lcm}(a, c).$$ ¿Se deduce de esto que $b = c$ ?

¿Es posible llenar una tabla de $1\times n$ con enteros distintos por pares de tal manera que para cualquier $k = 1, 2,\ldots, n$ se pueda encontrar un rectángulo de $1\times k$ en el que la suma de los números sea igual a $0$ si a) $n= 11$ ; b) $n= 12$ ?