Sean $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\in\mathbb{R}^+$ tales que $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=x_2^2-x_2x_3+x_3^2=x_3^2-x_3x_4+x_4^2=x_4^2-x_4x_5+x_5^2=x_5^2-x_5x_1+x_1^2$$ Demuestra que $x_1=x_2=x_3=x_4=x_5$.

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. La bisectriz de $BC$ interseca las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $F$ y $E$, respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ tiene centro $P$ e interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $D$ con $D$ diferente de $A$. Demuestra que la recta $PD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Esmeralda ha creado un caballo especial para jugar en tableros cuadriláteros que son idénticos a los tableros de ajedrez. Si un caballo está en un cuadrado, entonces puede moverse a otro cuadrado moviéndose 1 cuadrado en una dirección y 3 cuadrados en una dirección perpendicular (que es una diagonal de un rectángulo de $2\times4$ en lugar de $2\times3$ como en el ajedrez). En este movimiento, no aterriza en los cuadrados entre el cuadrado de inicio y el cuadrado final en el que aterriza. Un viaje de longitud $n$ del caballo es una secuencia de $n$ cuadrados $C1, C2, ..., Cn$ que son todos distintos tal que el caballo comienza en el cuadrado $C1$ y para cada $i$ de $1$ a $n-1$ puede usar el movimiento descrito antes para ir del cuadrado $Ci$ al $C(i+1)$.\nDetermina el mayor $N \in \mathbb{N}$ tal que existe un camino del caballo con longitud $N$ en un tablero de $5\times5$.

Juca ha decidido llamar a todos los enteros positivos con 8 dígitos como $sextalternados$ si es múltiplo de 30 y sus dígitos consecutivos tienen diferente paridad. Al mismo tiempo, Carlos decidió clasificar todos los $sextalternados$ que son múltiplos de 12 como $super sextalternados$. \na) Demuestra que los números $super sextalternados$ no existen.\nb) Encuentra el número $sextalternado$ más pequeño.

Sean $P,Q,R,S$ los puntos medios de los lados $BC,CD,DA,AB$ de un cuadrilátero convexo, respectivamente. Demostrar que\n$\displaystyle 4(AP^2+BQ^2+CR^2+DS^2)\le 5(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2)$

Sean $c_1,c_2,\ldots ,c_n,b_1,b_2,\ldots ,b_n$ $(n\geq 2)$ números reales positivos. Demostrar que la ecuación\n$\displaystyle \sum_{i=1}^nc_i\sqrt{x_i-b_i}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nx_i$\ntiene una solución única $(x_1,\ldots ,x_n)$ si y sólo si $\sum_{i=1}^nc_i^2=\sum_{i=1}^nb_i$.

Suponga que en el exterior de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se construyen triángulos equiláteros $XAB, YBC, ZCD, WDA$ con centroides $S_1, S_2, S_3, S_4$ respectivamente. Demostrar que $S_1S_3\perp S_2S_4$ si y sólo si $AC=BD$.

Sea $F=\{1,2,...,100\}$ y sea $G$ cualquier subconjunto de $10$ elementos de $F$. Demostrar que existen dos subconjuntos no vacíos disjuntos $S$ y $T$ de $G$ con la misma suma de elementos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $AA_1, BB_1, CC_1$ sus alturas. Se eligen los puntos $A', B', C'$ en los segmentos $AA_1, BB_1, CC_1$, respectivamente, de modo que $\angle BA'C = \angle AC'B = \angle CB'A = 90^{o}$. Sean los segmentos $AC'$ y $CA'$ se intersecan en $B''$; los puntos $A'', C''$ se definen de manera similar. Demuestre que el hexágono $A'B''C'A''B'C''$ es circunscrito.

Los números $1, 2,\ldots, n$ están escritos en la pizarra. En un movimiento, reemplazamos algunos dos números $ a, b$ con el número $a^2-b{}$. Encuentre todos los $n{}$ tales que después de $n-1$ movimientos es posible obtener $0$.