Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro dígitos. Llamamos plátano power al entero positivo más pequeño $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que puede ser insertado entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determine el valor de $p(2025)$.

Dividimos el plano en cuadrados de lado 1, trazando líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Cada cuadrado está pintado de blanco o negro. A cada momento, recoloreamos simultáneamente todos los cuadrados, de acuerdo con la siguiente regla: cada cuadrado $Q$ adopta el color que más aparece en la configuración de cinco cuadrados indicada en la figura. El proceso de recoloración se repite indefinidamente. Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de cuadrados negros tal que siempre haya al menos un cuadrado negro, sin importar cuántos segundos hayan pasado desde el comienzo del proceso.

Encontrar todos los números enteros positivos $n$ tales que $[\sqrt{n}]-2$ divide a $n-4$ y $[\sqrt{n}]+2$ divide a $n+4$. Nota: $[r]$ denota la parte entera de $r$.

Daniel escribe sobre una pizarra, de arriba a abajo, una lista de números enteros positivos menores o iguales a 10. Al lado de cada número de la lista de Daniel, Martín escribe el número de veces que existe este número en la lista de Daniel, haciendo una lista con la misma longitud. Si leemos la lista de Martín de abajo hacia arriba, obtenemos la misma lista de números que Daniel escribió de arriba a abajo. Encuentra la mayor longitud que puede tener la lista de Daniel.

Sea $n$ un número natural. La secuencia finita $\alpha$ de términos enteros positivos, hay $n$ números diferentes ($\alpha$ puede tener términos repetidos). Además, si de uno de sus términos restamos 1, obtenemos una secuencia que tiene, entre sus términos, al menos $n$ números positivos diferentes. ¿Cuál es el valor mínimo de la suma de todos los términos de $\alpha$?

Dos jugadores, A y B, juegan el siguiente juego: retiran monedas de una pila que contiene inicialmente 2006 monedas. Los jugadores juegan retirando alternativamente, en cada movimiento, de 1 a 7 monedas, cada jugador se queda con las monedas que retira. Si un jugador lo desea, puede pasar (no retira ninguna moneda), pero para ello debe pagar 7 monedas de las que retiró de la pila en movimientos pasados. Estas 7 monedas se llevan a una caja separada y ya no interfieren en el juego. El ganador es el que retira la última moneda, y A comienza el juego. Determinar qué jugador puede ganar con seguridad, no importa cómo juegue el otro. Mostrar la estrategia ganadora y explicar por qué funciona.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AD$ y $BC$, respectivamente. El segmento $CE$ se encuentra con $DF$ en $O$. Demostrar que si las líneas $AO$ y $BO$ dividen el lado $CD$ en 3 partes iguales, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

Una sociedad internacional tiene miembros de seis países diferentes. La lista de miembros contiene $1978$ nombres, numerados $1, 2, \dots, 1978$. Demuestra que hay al menos un miembro cuyo número es la suma de los números de dos miembros de su propio país, o el doble del número de un miembro de su propio país.

Un entero positivo $n$ se llama $omopeiro$ si existe $n$ enteros no nulos que no son necesariamente distintos tales que $2021$ es la suma de los cuadrados de esos $n$ enteros. Por ejemplo, el número $2$ no es un $omopeiro$, porque $2021$ no es una suma de dos cuadrados no nulos, pero $2021$ es un $omopeiro$, porque $2021=1^2+1^2+ \dots +1^2$, que es una suma de $2021$ cuadrados del número $1$. Demuestra que existen más de 1500 números $omopeiro$. Nota: demostrar que existen al menos 500 números $omopeiro$ vale 2 puntos.

Hay 3 rectas $r, s$ y $t$ en un plano. Las rectas $r$ y $s$ se intersecan perpendicularmente en el punto $A$. La recta $t$ interseca la recta $r$ en el punto $B$ y la recta $s$ en el punto $C$. Existen exactamente 4 circunferencias en el plano que son simultáneamente tangentes a todas esas 3 rectas. Demuestra que el radio de una de esas circunferencias es igual a la suma del radio de las otras tres circunferencias.