Encontrar todos los enteros positivos $n \geqslant 2$ para los cuales existen $n$ números reales $a_1<\cdots<a_n$ y un número real $r>0$ tal que las $\tfrac{1}{2}n(n-1)$ diferencias $a_j-a_i$ para $1 \leqslant i<j \leqslant n$ son iguales, en algún orden, a los números $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ .

Sea $n \geqslant 3$ un entero, y sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales en el intervalo $[0,1]$. Sea $s=x_1+x_2+\ldots+x_n$, y asuma que $s \geqslant 3$. Pruebe que existen enteros $i$ y $j$ con $1 \leqslant i<j \leqslant n$ tales que \[2^{j-i}x_ix_j>2^{s-3}.\]

Sea $\mathbb{R}^+$ denote el conjunto de números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tal que para cada $x \in \mathbb{R}^+$ , hay exactamente un $y \in \mathbb{R}^+$ que satisface $$xf(y)+yf(x) \leq 2$$

Sea $k\ge2$ un entero. Encuentra el entero más pequeño $n \ge k+1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos se puede escribir como una suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todos los enteros positivos $n$. Demuestra que $a_{2022}\leq 1$.

Un triminó es una pieza rectangular de $1\times 3$. ¿Es posible cubrir un tablero de ajedrez de $8\times 8$ usando $21$ triminós, de tal manera que quede exactamente un cuadrado de $1\times 1$ sin cubrir? En caso de que la respuesta sea afirmativa, determine todas las posibles ubicaciones de dicho cuadrado unitario en el tablero de ajedrez.

Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=1$. Demuestre que $$a\sqrt{a^2+6bc}+b\sqrt{b^2+6ac}+c\sqrt{c^2+6ab}\leq\frac{3\sqrt{2}}{4}$$

Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $l$ la tangente a $\Gamma$ que pasa por $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y se encuentran con $l$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $DC$ y $EB$ se encuentran con $\Gamma$ nuevamente en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Demuestre que las líneas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$, respectivamente, se encuentran en $AD$.

Tenemos un polígono regular $P$ con 2019 vértices, y en cada vértice hay una moneda. Dos jugadores Azul y Rojo se turnan alternativamente, comenzando con Azul, de la siguiente manera: primero, Azul elige un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior con azul, luego Rojo selecciona un triángulo con vértices en $P$ y colorea su interior con rojo, de modo que los triángulos formados en cada movimiento no se intersequen internamente con los triángulos coloreados previamente. Continúan jugando hasta que no es posible elegir otro triángulo para ser coloreado. Luego, un jugador gana la moneda de un vértice si coloreó la mayor cantidad de triángulos incidentes a ese vértice (si las cantidades de triángulos coloreados con azul o rojo incidentes al vértice son las mismas, entonces nadie gana esa moneda y la moneda se elimina). El jugador con la mayor cantidad de monedas gana el juego. Encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.\n\nNota: Dos triángulos pueden compartir vértices o lados.