Lucy comienza escribiendo $s$ tuplas de enteros de tamaño $2022$ en una pizarra. Después de hacer eso, ella puede tomar cualesquiera dos tuplas (no necesariamente distintas) $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_{2022})$ y $\mathbf{w}=(w_1,\ldots,w_{2022})$ que ya haya escrito, y aplicar una de las siguientes operaciones para obtener una nueva tupla:\n\begin{align*}\n\mathbf{v}+\mathbf{w}&=(v_1+w_1,\ldots,v_{2022}+w_{2022}) \\\n\mathbf{v} \lor \mathbf{w}&=(\max(v_1,w_1),\ldots,\max(v_{2022},w_{2022}))\n\end{align*} y luego escribir esta tupla en la pizarra. Resulta que, de esta manera, Lucy puede escribir cualquier tupla de enteros de tamaño $2022$ en la pizarra después de un número finito de pasos. ¿Cuál es el menor número posible $s$ de tuplas que ella inicialmente escribió?

Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ montones de piedras, cada uno conteniendo inicialmente una sola piedra. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elegir dos montones, tomar un número igual de piedras de cada montón y formar un nuevo montón con estas piedras. Encontrar (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se pueden obtener realizando una secuencia finita de movimientos de esta forma.

Sean $m,n \geqslant 2$ enteros, sea $X$ un conjunto con $n$ elementos, y sean $X_1,X_2,\ldots,X_m$ subconjuntos no vacíos, no necesariamente disjuntos, distintos por pares de $X$. Una función $f \colon X \to \{1,2,\ldots,n+1\}$ se llama agradable si existe un índice $k$ tal que $$\sum_{x \in X_k} f(x)>\sum_{x \in X_i} f(x) \quad \text{para todo } i \ne k.$$ Pruebe que el número de funciones agradables es al menos $n^n$.

Sea $n > 3$ un entero positivo. Suponga que $n$ niños están dispuestos en un círculo, y $n$ monedas se distribuyen entre ellos (algunos niños pueden no tener monedas). En cada paso, un niño con al menos 2 monedas puede dar 1 moneda a cada uno de sus vecinos inmediatos a la derecha e izquierda. Determine todas las distribuciones iniciales de las monedas a partir de las cuales es posible que, después de un número finito de pasos, cada niño tenga exactamente una moneda.

En cada cuadrado de un jardín con forma de tablero de $2022 \times 2022$, inicialmente hay un árbol de altura $0$. Un jardinero y un leñador alternan turnos jugando el siguiente juego, con el jardinero tomando el primer turno: El jardinero elige un cuadrado en el jardín. Cada árbol en ese cuadrado y todos los cuadrados circundantes (de los cuales hay como máximo ocho) se vuelven una unidad más altos. Luego, el leñador elige cuatro cuadrados diferentes en el tablero. Cada árbol de altura positiva en esos cuadrados se vuelve una unidad más corto. Decimos que un árbol es majestuoso si su altura es al menos $10^6$. Determine el $K$ más grande tal que el jardinero pueda asegurar que eventualmente haya $K$ árboles majestuosos en el tablero, sin importar cómo juegue el leñador.

El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: aluminio (denotado A) y bronce (denotado B). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce dispuestas en una fila en algún orden inicial arbitrario. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo fijo $k \leq 2n$, Gilberty realiza repetidamente la siguiente operación: identifica la cadena más larga que contiene la $k^{th}$ moneda desde la izquierda y mueve todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza desde el orden $AABBBABA$ sería $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$ Encuentre todos los pares $(n,k)$ con $1 \leq k \leq 2n$ tal que para cada orden inicial, en algún momento durante el proceso, las $n$ monedas más a la izquierda serán todas del mismo tipo.

Una secuencia $\pm 1$ es una secuencia de $2022$ números $a_1, \ldots, a_{2022},$ cada uno igual a $+1$ o $-1$. Determine el mayor $C$ tal que, para cualquier secuencia $\pm 1$, existe un entero $k$ e índices $1 \le t_1 < \ldots < t_k \le 2022$ tal que $t_{i+1} - t_i \le 2$ para todo $i$, y $$\left| \sum_{i = 1}^{k} a_{t_i} \right| \ge C.$$

Para un entero positivo $n$ , una $n$ - secuencia es una secuencia $(a_0,\ldots,a_n)$ de enteros no negativos que satisfacen la siguiente condición: si $i$ y $j$ son enteros no negativos con $i+j \leqslant n$ , entonces $a_i+a_j \leqslant n$ y $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Sea $f(n)$ el número de $n$ - secuencias. Demostrar que existen números reales positivos $c_1$ , $c_2$ , y $\lambda$ tales que $$c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n$$ para todos los enteros positivos $n$ .

Para un entero positivo $n$ denotamos por $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Sea $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ un polinomio, donde $n \geqslant 2$ y $a_i$ es un entero positivo para todo $0 \leqslant i \leqslant n-1$ . ¿Podría ser el caso que, para todos los enteros positivos $k$ , $s(k)$ y $s(P(k))$ tengan la misma paridad?

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ Encontrar todos los números racionales $q$ tales que para cada función $f\in\mathcal F$ , existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$ .