Demuestre que $5^n-3^n$ no es divisible por $2^n+65$ para ningún entero positivo $n$.

Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demuestre que hay a lo sumo una forma (salvo rotación y reflexión) de colocar los elementos de $S$ alrededor del círculo tal que el producto de dos vecinos cualesquiera sea de la forma $x^2+x+k$ para algún entero positivo $x$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con altura $\overline{AH}$, y sea $P$ un punto variable tal que las bisectrices $k$ y $\ell$ de $\angle PBC$ y $\angle PCB$, respectivamente, se encuentran en $\overline{AH}$. Sea $k$ que se encuentra con $\overline{AC}$ en $E$, $\ell$ que se encuentra con $\overline{AB}$ en $F$, y $\overline{EF}$ que se encuentra con $\overline{AH}$ en $Q$. Demuestre que cuando $P$ varía, la línea $PQ$ pasa por un punto fijo.

Sea $ABC$ un triángulo y $\ell_1,\ell_2$ dos líneas paralelas. Sea $\ell_i$ que intersecta la línea $BC,CA,AB$ en $X_i,Y_i,Z_i$ , respectivamente. Sea $\Delta_i$ el triángulo formado por la línea que pasa por $X_i$ y es perpendicular a $BC$, la línea que pasa por $Y_i$ y es perpendicular a $CA$, y la línea que pasa por $Z_i$ y es perpendicular a $AB$. Demuestre que los circuncírculos de $\Delta_1$ y $\Delta_2$ son tangentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC > AB$, sea $O$ su circuncentro, y sea $D$ un punto en el segmento $BC$. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $BC$ intersecta las líneas $AO, AC,$ y $AB$ en $W, X,$ e $Y,$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $AXY$ y $ABC$ se intersectan de nuevo en $Z \ne A$. Demuestre que si $W \ne D$ y $OW = OD,$ entonces $DZ$ es tangente al círculo $AXY$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Asuma que los puntos $Q, A, B, P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$, y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AD$, respectivamente. Demuestre que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$, la tangente del círculo $ANQ$ en el punto $A$, y la tangente al círculo $BMP$ en el punto $B$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$, y $P$ es un punto en el segmento $AF$. Las líneas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ se encuentran con $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Los puntos $X \ne A$ e $Y \ne A$ se encuentran en los círculos $ABD$ y $ACE$, respectivamente, tal que $DA = DX$ y $EA = EY$. Demuestre que $B, C, X,$ e $Y$ son concíclicos.

Un número se llama noruego si tiene tres divisores positivos distintos cuya suma es igual a $2022$. Determine el número noruego más pequeño. (Nota: Se permite que el número total de divisores positivos de un número noruego sea mayor que $3$).

Sea $\mathbb Z_{\ge 0}$ el conjunto de los enteros no negativos, y sea $f:\mathbb Z_{\ge 0}\times \mathbb Z_{\ge 0} \to \mathbb Z_{\ge 0}$ una biyección tal que siempre que $f(x_1,y_1) > f(x_2, y_2)$ , tenemos $f(x_1+1, y_1) > f(x_2 + 1, y_2)$ y $f(x_1, y_1+1) > f(x_2, y_2+1)$ . Sea $N$ el número de pares de enteros $(x,y)$ con $0\le x,y<100$ , tal que $f(x,y)$ es impar. Encontrar los valores mínimo y máximo posibles de $N$ .

Sea $n$ un entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n \times n$ que contiene todos los enteros desde $1$ hasta $n^2$ de manera que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes se consideran adyacentes si comparten un lado común. Cada celda que es adyacente solo a celdas que contienen números más grandes se llama valle. Un camino cuesta arriba es una secuencia de una o más celdas tal que: (i) la primera celda en la secuencia es un valle, (ii) cada celda subsiguiente en la secuencia es adyacente a la celda anterior, y (iii) los números escritos en las celdas en la secuencia están en orden creciente. Encontrar, como función de $n$ , el número total más pequeño posible de caminos cuesta arriba en un cuadrado nórdico.