Sea $ABCD$ un cuadrado con diagonales $AC$ y $BD$ , y $P$ un punto en uno de los lados del cuadrado. Demuestra que la suma de las distancias desde P a las diagonales es constante.

Sea $n$ un cuadrado con 4 dígitos, tal que todos sus dígitos son menores que 6. Si sumamos 1 a cada dígito, el número resultante es otro cuadrado. Encuentra $n$

Un número $p$ es $perfecto$ si la suma de sus divisores, excepto $p$ es $p$ . Sea $f$ una función tal que: $f(n)=0$ , si n es perfecto $f(n)=0$ , si el último dígito de n es 4 $f(a.b)=f(a)+f(b)$ Encuentra $f(1998)$

Encuentra la suma \[1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ dígitos}}.\]

Dos triángulos isósceles con lados de longitud $x,x,a$ y $x,x,b$ ( $a \neq b$ ) tienen áreas iguales. Encuentra $x$ .

Sea $Q$ un conjunto de números primos, no necesariamente finito. Para un entero positivo $n$ considera su factorización prima: define $p(n)$ como la suma de todos los exponentes y $q(n)$ como la suma de los exponentes correspondientes solo a los primos en $Q$ . Un entero positivo $n$ se llama especial si $p(n)+p(n+1)$ y $q(n)+q(n+1)$ son ambos enteros pares. Demuestra que existe una constante $c>0$ independiente del conjunto $Q$ tal que para cualquier entero positivo $N>100$ , el número de enteros especiales en $[1,N]$ es al menos $cN$ . (Por ejemplo, si $Q=\{3,7\}$ , entonces $p(42)=3$ , $q(42)=2$ , $p(63)=3$ , $q(63)=3$ , $p(2022)=3$ , $q(2022)=1$ . )

Para cada $1\leq i\leq 9$ y $T\in\mathbb N$ , define $d_i(T)$ como el número total de veces que el dígito $i$ aparece cuando todos los múltiplos de $1829$ entre $1$ y $T$ inclusive se escriben en base $10$ . Demuestra que existen infinitos $T\in\mathbb N$ tales que hay precisamente dos valores distintos entre $d_1(T)$ , $d_2(T)$ , $\dots$ , $d_9(T)$ .

Encuentra todas las ternas $(a,b,p)$ de enteros positivos con $p$ primo y \[ a^p=b!+p. \]

Sea $a > 1$ un entero positivo y $d > 1$ un entero positivo coprimo con $a$ . Sea $x_1=1$ , y para $k\geq 1$ , define $$x_{k+1} = \begin{cases} x_k + d &\text{si } a \text{ no divide a } x_k \\ x_k/a & \text{si } a \text{ divide a } x_k\n\end{cases}$$ Encuentra, en términos de $a$ y $d$ , el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un índice $k$ tal que $x_k$ es divisible por $a^n$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primos}} (p+q)$$