Sea $f$ una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Suponga que, para dos enteros cualesquiera $m$ y $n$, la diferencia $f(m) - f(n)$ es divisible por $f(m- n)$. Demuestre que, para todos los enteros $m$ y $n$ con $f(m) \leq f(n)$, el número $f(n)$ es divisible por $f(m)$.

Sea $n > 0$ un entero. Se nos da una balanza y $n$ pesas de peso $2^0, 2^1, \cdots, 2^{n-1}$. Debemos colocar cada una de las $n$ pesas en la balanza, una tras otra, de tal manera que el plato derecho nunca sea más pesado que el plato izquierdo. En cada paso, elegimos una de las pesas que aún no se ha colocado en la balanza y la colocamos en el plato izquierdo o en el plato derecho, hasta que se hayan colocado todas las pesas. Determine el número de formas en que esto se puede hacer.

Tenemos un triángulo $ ABC $ y hacemos rectángulos $ ABA_1B_2 $ , $ BCB_1C_2 $ y $ CAC_1A_2 $ fuera de él. luego trace una línea a través de $ A_2 $ perpendicular a $ C_1A_2 $ y trace otra línea a través de $ A_1 $ perpendicular a $ A_1B_2 $ . sea $ A' $ el punto común de estas dos líneas. de esta manera hacemos $ B' $ y $ C' $ . pruebe que $ AA' $ , $ BB' $ y $ CC' $ se intersecan entre sí en el mismo punto.

En el triángulo $ABC$, dibujamos el círculo con centro $A$ y radio $AB$. Este círculo interseca a $AC$ en dos puntos. También dibujamos el círculo con centro $A$ y radio $AC$ y este círculo interseca a $AB$ en dos puntos. Denotamos estos cuatro puntos por $A_1, A_2, A_3, A_4$. Encuentra los puntos $B_1, B_2, B_3, B_4$ y $C_1, C_2, C_3, C_4$ de manera similar. Suponga que estos $12$ puntos se encuentran en dos círculos. Demuestra que el triángulo $ABC$ es isósceles.

Sea $ H $ el ortocentro del triángulo $ ABC $ trace dos líneas $ l_1 $ y $ l_2 $ a través de $ H $ tales que $ l_1 \bot l_2 $ tenemos $ l_1 \cap BC = D $ y $ l_1 \cap AB = Z $ también $ l_2 \cap BC = E $ y $ l_2 \cap AC = X $ como en esta imagen trace una línea $ d_1$ a través de $ D $ paralela a $ AC $ y otra línea $ d_2 $ a través de $ E $ paralela a $ AB $ sea $ d_1 \cap d_2 = Y $ pruebe que $ X $ $ , $ $ Y $ y $ Z $ están en la misma línea

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con circuncírculo $ w $ sea $ P $ un punto en el arco $ BC $ ( el punto $ A $ está en el otro lado ) trace una línea tangente $ d $ que pase por el punto $ P $ tal que $ P \cap AB = F $ y $ AC \cap d = L $ sea $ O $ el centro del círculo $ w $ pruebe que $ \angle LOF > 90^{0} $

Sean $ w_1 $ y $ w_2 $ dos círculos tales que $ w_1 \cap w_2 = \{ A , B \} $ sea $ X $ un punto en $ w_2 $ y $ Y $ en $ w_1 $ tal que $ BY \bot BX $ suponga que $ O $ es el centro de $ w_1 $ y $ X' = w_2 \cap OX $ ahora si $ K = w_2 \cap X'Y $ pruebe que $ X $ es el punto medio del arco $ AK $

a) ¿Existen 5 círculos en el plano tales que cada círculo pase por los centros de exactamente 3 círculos? b) ¿Existen 6 círculos en el plano tales que cada círculo pase por los centros de exactamente 3 círculos?

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con circuncírculo $ w $ sea $ P $ un punto en el arco $ BC $ ( el punto $ A $ está en el otro lado ) trace una línea tangente $ d $ que pase por el punto $ P $ tal que $ P \cap AB = F $ y $ AC \cap d = L $ sea $ O $ el centro del círculo $ w $ pruebe que $ \angle LOF > 90^{0} $

En el triángulo $ABC$, $M,N,K$ son los puntos medios de los lados $BC,AC,AB$, respectivamente. Construye dos semicírculos con diámetro $AB,AC$ fuera del triángulo $ABC$. $MK,MN$ se intersecan con los semicírculos en $X,Y$. Las tangentes a los semicírculos en $X,Y$ se intersecan en el punto $Z$. Demuestra que $AZ \perp BC$.