En el triángulo acutángulo $ABC$, $BH$ es la altura del vértice $B$. Los puntos $D$ y $E$ son los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Suponga que $F$ es la reflexión de $H$ con respecto a $ED$. Demuestra que la línea $BF$ pasa por el circuncentro de $ABC$.

Dado un círculo y puntos $P,B,A$ sobre él. El punto $Q$ es interior a este círculo tal que: $1)$ $\angle PAQ=90$ . $ 2)PQ=BQ$ . Demuestra que $\angle AQB - \angle PQA=\stackrel{\frown}{AB}$ .

¿Existen $6$ círculos en el plano tales que cada círculo pase por los centros de exactamente $3$ otros círculos?

En el rectángulo $ABCD$, los puntos $M,N,P, Q$ se encuentran en $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ respectivamente, tales que el área de los triángulos $AQM$, $BMN$, $CNP$, $DPQ$ son iguales. Demuestra que el cuadrilátero $MNPQ$ es un paralelogramo.

En la siguiente figura, sabemos que $AB = CD$ y $BC = 2AD$. Demuestra que $\angle BAD = 30^o$. https://3.bp.blogspot.com/-IXi_8jSwzlU/W1R5IydV5uI/AAAAAAAAIzo/2sREnDEnLH8R9zmAZLCkVCGeMaeITX9YwCK4BGAYYCw/s400/IGO%2B2015.el3.png

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^o$. Los puntos $M,N,K$ se encuentran en $BC,AC,AB$ respectivamente tales que $BK = KM = MN = NC$. Si $AN = 2AK$, encuentre los valores de $\angle B$ y $\angle C$.

Tenemos cuatro triángulos de madera con lados de $3, 4, 5$ centímetros. ¿Cuántos polígonos convexos podemos hacer con todos estos triángulos? (Simplemente dibuja los polígonos sin ninguna demostración) Un polígono convexo es un polígono en el que todos sus ángulos son menores que $180^o$ y no hay ningún agujero en él. Por ejemplo: //cdn.artofproblemsolving.com/images/7/5/4/7545261bf092f2c843dcb006847dda80e25acedc.png

Sea $\alpha>1$ un número real tal que la sucesión $a_n=\alpha\lfloor \alpha^n\rfloor- \lfloor \alpha^{n+1}\rfloor$ , con $n\geq 1$ , es periódica, es decir, existe un entero positivo $p$ tal que $a_{n+p}=a_n$ para todo $n$ . Demostrar que $\alpha$ es un entero.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y circuncírculo $\omega$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectivamente y $G$ es el baricentro de $ABC$ . Sea $P$ el pie de la perpendicular de $A$ a la recta $BC$ , y el punto $Q$ es la intersección de $GP$ y $\omega$ ( $Q,P,G$ son colineales en este orden). La recta $QM$ corta a $\omega$ en $M_1$ y la recta $QN$ corta a $\omega$ en $N_1$ . Si $K$ es la intersección de $BM_1$ y $CN_1$ demostrar que $P$ , $G$ y $K$ son colineales.

Demostrar que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos $a,b,c>1$ , $gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(c,a)=1$ tales que $a+b+c$ divide a $a^b+b^c+c^a$.