En el diccionario canino las palabras son cualquier secuencia de letras $A$ y $U$ por ejemplo $AA$ , $UAU$ y $AUAU$ . Para cada palabra, su 'profundidad' será la cantidad de subpalabras que podemos obtener mediante la eliminación de algunas letras. Para cada entero positivo $n$ , determine la mayor 'profundidad' de palabra, en el diccionario canino, que puede tener con $n$ letras. Nota: La palabra $AAUUA$ tiene 'profundidad' $14$ porque sus subpalabras son $A, U, AU, AA, UU, UA, AUU, UUA, AAU, AUA, AAA, AAUU, AAUA, AUUA$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(f(x)^2+f(y^2))=(x-y)f(x-f(y))$

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular, en los lados $AB$ , $CD$ , $DE$ y $FA$ elegimos cuatro puntos $P,Q,R$ y $S$ respectivamente, tales que $PQRS$ es un cuadrado. Demostrar que $PQ$ y $BC$ son paralelos.

Llamamos a un entero positivo $n$ asombroso si existen enteros positivos $a, b, c$ tales que la igualdad \[n = (b, c)(a, bc) + (c, a)(b, ca) + (a, b)(c, ab)\] se cumple. Demuestra que existen $2011$ enteros positivos consecutivos que son asombrosos. Nota. Por $(m, n)$ denotamos el máximo común divisor de los enteros positivos $m$ y $n$.

Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos disjuntos con $A \cup B = \{1, 2,3, \ldots, 10\}$. Demuestra que existen elementos $a \in A$ y $b \in B$ tales que el número $a^3 + ab^2 + b^3$ es divisible por $11$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Denotemos por $B_0$ y $C_0$ los pies de las alturas desde los vértices $B$ y $C$, respectivamente. Sea $X$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que la línea $BX$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXC_0$ y la línea $CX$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXB_0$. Demuestra que la línea $AX$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con los cinco lados iguales en longitud. Las diagonales $AD$ y $EC$ se encuentran en $S$ con $\angle ASE = 60^\circ$. Demuestra que $ABCDE$ tiene un par de lados paralelos.

Sea $n \geq 3$ un entero. En una competencia tipo MEMO, hay $3n$ participantes, se hablan $n$ idiomas, y cada participante habla exactamente tres idiomas diferentes. Demuestra que al menos $\left\lceil\frac{2n}{9}\right\rceil$ de los idiomas hablados pueden ser elegidos de tal manera que ningún participante hable más de dos de los idiomas elegidos. Nota. $\lceil x\rceil$ es el entero más pequeño que es mayor o igual que $x$.

Para un entero $n \geq 3$, sea $\mathcal M$ el conjunto $\{(x, y) | x, y \in \mathbb Z, 1 \leq x \leq n, 1 \leq y \leq n\}$ de puntos en el plano. ¿Cuál es el número máximo posible de puntos en un subconjunto $S \subseteq \mathcal M$ que no contiene tres puntos distintos que sean los vértices de un triángulo rectángulo?

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2.\] Demuestra que \[\frac{\sqrt a + \sqrt b+\sqrt c}{2} \geq \frac{1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt c}.\]