Encuentra todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que la igualdad \[y^2f(x) + x^2f(y) + xy = xyf(x + y) + x^2 + y^2\] se cumple para todos los $x, y \in \Bbb R$, donde $\Bbb R$ es el conjunto de los números reales.

Un entero $n $ se llama silesiano si existen enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que $$n=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.$$ $(a)$ demuestre que hay infinitos enteros silesianos. $(b)$ demuestre que no todo entero positivo es silesiano.

Sea $a_1,a_2,a_3,\cdots$ la secuencia de enteros positivos tales que $$a_1=1 , a_{k+1}=a^3_k+1, $$ para todos los enteros positivos $k.$ Demuestre que para cada número primo $p$ de la forma $3l +2,$ donde $l$ es un entero no negativo ,existe un entero positivo $n$ tal que $a_n$ es divisible por $p.$

Sea $ABC$ un triángulo . La bisectriz interna de $ABC$ interseca al lado $AC$ en $ L$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $W \neq B.$ Sea $K$ la proyección perpendicular de $L$ sobre $AW.$ la circunferencia circunscrita de $BLC$ interseca la línea $CK$ nuevamente en $P \neq C.$ Las líneas $BP$ y $AW$ se encuentran en el punto $T.$ Demuestre que $$AW=WT.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A,$ los puntos $B'$ y $C'$ se encuentran en los rayos $AB$ y $AC,$ respectivamente, de modo que los puntos $B',$ $C'$ y $D$ son colineales y los puntos $B,$ $C,$ $B'$ y $C'$ se encuentran en un círculo con centro $O.$ Demuestre que si $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC,$ entonces $DHMO$ es un paralelogramo.

Sea $n$ un entero positivo y $u_1,u_2,\cdots ,u_n$ sean enteros positivos no mayores que $2^k, $ para algún entero $k\geq 3.$ Una representación de un entero no negativo $t$ es una secuencia de enteros no negativos $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ tal que $t=a_1u_1+a_2u_2+\cdots +a_nu_n.$ Demuestre que si un entero no negativo $t$ tiene una representación, entonces también tiene una representación donde menos de $2k$ de los números $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ son distintos de cero.

Un grupo de piratas tuvo una discusión y no cada uno de ellos apunta a otros dos a punta de pistola.Todos los piratas son llamados uno por uno en algún orden.Si el pirata llamado todavía está vivo, dispara a ambos piratas a los que apunta (algunos de los cuales podrían ya estar muertos). Todos los disparos son inmediatamente letales. Después de que todos los piratas han sido llamados, resulta que exactamente $28$ piratas murieron. Demuestre que si los piratas fueron llamados en cualquier otro orden, al menos $10$ piratas habrían muerto de todos modos.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coeficientes racionales tal que $P(x) $ tiene $ n$ raíces reales por pares diferentes que forman una progresión aritmética .Demuestre que entre las raíces de $P(x) $ hay dos que también son las raíces de algún polinomio de grado $2$ con coeficientes racionales .

Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1.$ Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leq a+b+c-3.$$

(a) Demuestre que para cada entero positivo $m$ existe un entero $n\ge m$ tal que $$\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor \cdot \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \cdots \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor =\binom{n}{m} \\\\\\\\ (*)$$ (b) Denotemos por $p(m)$ el entero más pequeño $n \geq m$ tal que la ecuación $ (*)$ se cumple. Demuestre que $p(2018) = p(2019).$ Observación: Para un número real $x,$ denotamos por $\left \lfloor x \right \rfloor$ el entero más grande no mayor que $x.$