Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A.$ Sean $R$ y $Q$ los centroides de los triángulos $ABD$ y $ACD$ , respectivamente. Sea $P$ un punto en el segmento de línea $BC$ tal que $P \neq D$ y los puntos $P$ $Q$ $R$ y $D$ son concíclicos. Demuestre que las líneas $AP$ $BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Las dos figuras que se muestran a continuación, que constan de $6$ y $10$ cuadrados unitarios, respectivamente, se denominan escaleras. Considere un tablero de $2018\times 2018$ que consta de $2018^2$ celdas, cada una de las cuales es un cuadrado unitario. Se eliminaron dos celdas arbitrarias de la misma fila del tablero. Demuestre que el resto del tablero no se puede cortar (a lo largo de los bordes de las celdas) en escaleras (posiblemente rotadas).

Sea $Q^+$ el conjunto de todos los números racionales positivos y sea $\alpha\in Q^+.$ Determine todas las funciones $f:Q^+ \to (\alpha,+\infty )$ que satisfacen $$f(\frac{ x+y}{\alpha}) =\frac{ f(x)+f(y)}{\alpha}$$ para todo $x,y\in Q^+ .$

Para un grafo finito $G$ , sea $f(G)$ el número de triángulos y $g(G)$ el número de tetraedros formados por aristas de $G$ . Encuentre la menor constante $c$ tal que \[g(G)^3\le c\cdot f(G)^4\] para cada grafo $G$ .

Define un 'gancho' como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen de abajo, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy]\nunitsize(0.5 cm);\n\ndraw((0,0)--(1,0));\ndraw((0,1)--(1,1));\ndraw((2,1)--(3,1));\ndraw((0,2)--(3,2));\ndraw((0,3)--(3,3));\ndraw((0,0)--(0,3));\ndraw((1,0)--(1,3));\ndraw((2,1)--(2,3));\ndraw((3,1)--(3,3));\n[/asy] Determine todos los rectángulos de $ m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos de tal manera que - el rectángulo esté cubierto sin huecos y sin superposiciones - ninguna parte de un gancho cubra área fuera del rectángulo.

Para una matriz ${n\times n}$ $A$ , sea $X_{i}$ el conjunto de entradas en la fila $i$ , y $Y_{j}$ el conjunto de entradas en la columna $j$ , ${1\leq i,j\leq n}$ . Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Encuentre el entero más pequeño $n$ tal que exista una matriz dorada de ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$ .

La siguiente operación está permitida en un grafo finito: Elige un ciclo arbitrario de longitud 4 (si existe alguno), elige una arista arbitraria en ese ciclo y elimínala del grafo. Para un entero fijo ${n\ge 4}$ , encuentra el número mínimo de aristas de un grafo que se puede obtener mediante aplicaciones repetidas de esta operación a partir del grafo completo de $n$ vértices (donde cada par de vértices están unidos por una arista).

¿Existe una función $s\colon \mathbb{Q} \rightarrow \{-1,1\}$ tal que si $x$ e $y$ son números racionales distintos que satisfacen ${xy=1}$ o ${x+y\in \{0,1\}}$ , entonces ${s(x)s(y)=-1}$ ? Justifica tu respuesta.

Sean $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... una secuencia infinita de números reales que satisfacen la ecuación $a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ para todo $n\geq 0$ , donde $a_0$ y $a_1$ son dos números reales positivos diferentes. ¿Puede esta secuencia $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... estar acotada?

Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$ , $t_2$ , ..., $t_n$ números reales positivos tales que \[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] Demuestre que $t_i$ , $t_j$ , $t_k$ son longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$ , $j$ , $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$ .