Sean ${a_1,a_2,\dots,a_n}$ números reales positivos, ${n>1}$ . Denotemos por $g_n$ su media geométrica, y por $A_1,A_2,\dots,A_n$ la secuencia de medias aritméticas definidas por \[ A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k},\qquad k=1,2,\dots,n. \] Sea $G_n$ la media geométrica de $A_1,A_2,\dots,A_n$ . Demostrar la desigualdad \[ n \root n\of{\frac{G_n}{A_n}}+ \frac{g_n}{G_n}\le n+1 \] y establecer los casos de igualdad.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[ f(x^2+y^2+2f(xy)) = (f(x+y))^2. \] para todo $x,y \in \mathbb{R}$ .

Dado un entero ${n>1}$ , denotemos por $P_{n}$ el producto de todos los enteros positivos $x$ menores que $n$ y tales que $n$ divide a ${x^2-1}$ . Para cada ${n>1}$ , hallar el resto de $P_{n}$ al dividir por $n$ .

Llamamos entero positivo alternante si cada dos dígitos consecutivos en su representación decimal son de diferente paridad. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo que es alternante.

Encuentra todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ tenemos las siguientes relaciones \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]

Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{N^{*}}\to \mathbb{N^{*}}$ que satisfacen\n\[ \left(f^{2}\left(m\right)+f\left(n\right)\right) \mid \left(m^{2}+n\right)^{2}\]\npara cualesquiera dos enteros positivos $ m$ y $ n$ .\nObservación. La abreviatura $ \mathbb{N^{*}}$ significa el conjunto de todos los enteros positivos: $ \mathbb{N^{*}}=\left\{1,2,3,...\right\}$ . Por $ f^{2}\left(m\right)$ , queremos decir $ \left(f\left(m\right)\right)^{2}$ (y no $ f\left(f\left(m\right)\right)$ ) .

La función $f$ del conjunto $ \mathbb{N}$ de enteros positivos en sí mismo se define por la igualdad\n\[f(n)=\sum_{k=1}^{n} \gcd(k,n),\qquad n\in \mathbb{N}.\]\na) Demostrar que $f(mn)=f(m)f(n)$ para cada par de números primos relativos ${m,n\in\mathbb{N}}$ .\nb) Demostrar que para cada $a\in\mathbb{N}$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene una solución.\nc) Encontrar todos los ${a\in\mathbb{N}}$ tales que la ecuación $f(x)=ax$ tiene una solución única.

Sea $ \tau(n)$ el número de divisores positivos del entero positivo $n$ . Demostrar que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que la ecuación $ \tau(an)=n $ no tiene solución entera positiva $n$ .

Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sea $M$ el punto medio del lado $CD$ , y sea $N$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABM$ . Asuma que el punto $N$ es diferente del punto $M$ y satisface $\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{BM}$ . Pruebe que los puntos $E$ , $F$ , $N$ son colineales, donde $E=AC\cap BD$ y $F=BC\cap DA$ .

Para un triángulo dado $ ABC$ , sea $ X$ un punto variable en la línea $ BC$ tal que $ C$ se encuentra entre $ B$ y $ X$ y las circunferencias inscritas de los triángulos $ ABX$ y $ ACX$ se intersecan en dos puntos distintos $ P$ y $ Q.$ Pruebe que la línea $ PQ$ pasa por un punto independiente de $ X$ .