Si $a$ , $b$ , $c$ son tres números reales positivos tales que $ab+bc+ca = 1$ , demostrar que \[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]

$A$ y $B$ juegan un juego, dado un entero $N$ , $A$ escribe $1$ primero, luego cada jugador ve el último número escrito y si es $n$ entonces en su turno escribe $n+1$ o $2n$ , pero su número no puede ser mayor que $N$ . El jugador que escribe $N$ gana. ¿Para qué valores de $N$ gana $B$?

Considera una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto no superior a $1$ . La suma de todas las entradas de la matriz es $0$ . Sea $n$ un entero positivo par. Determine el número más pequeño $C$ tal que cada matriz de este tipo tenga necesariamente una fila o una columna con la suma de sus entradas no superior a $C$ en valor absoluto.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La línea $AO$ se encuentra con el lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Extienda los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija en las respectivas extensiones los puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ .

Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se intersecan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Ningún círculo tiene un punto en común. Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de los $n$ colores distintos de modo que cada color se use al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentra todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible.

Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes están en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ( $m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentra todos los valores posibles de $k$.

En una competición matemática, en la que se plantearon $6$ problemas a los participantes, cada dos de estos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ de los concursantes. Además, ningún concursante resolvió los $6$ problemas. Demuestre que hay al menos $2$ concursantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo fijo con $BC=DA$ y $BC$ no paralelo con $DA$ . Sean dos puntos variables $E$ y $F$ sobre los lados $BC$ y $DA$ , respectivamente y satisfacen $BE=DF$ . Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$ , las líneas $BD$ y $EF$ se encuentran en $Q$ , las líneas $EF$ y $AC$ se encuentran en $R$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PQR$ , cuando $E$ y $F$ varían, tienen un punto en común distinto de $P$ .

Determine todos los enteros positivos relativamente primos con todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Sean $x,y,z$ tres números reales positivos tales que $xyz\geq 1$ . Demuestre que \[ \frac { x^5-x^2 }{x^5+y^2+z^2} + \frac {y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac {z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0 . \]