La función $f(x,y)$ satisface: $f(0,y)=y+1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ para todos los enteros no negativos $x,y$. Encuentra $f(4,1981)$.

Tres círculos de igual radio tienen un punto común $O$ y se encuentran dentro de un triángulo dado. Cada círculo toca un par de lados del triángulo. Demuestra que el incentro y el circuncentro del triángulo son colineales con el punto $O$.

a.) ¿Para qué $n>2$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos consecutivos tal que el número más grande del conjunto es un divisor del mínimo común múltiplo de los $n-1$ números restantes?\nb.) ¿Para qué $n>2$ existe exactamente un conjunto que tenga esta propiedad?

Determina el valor máximo de $m^2+n^2$, donde $m$ y $n$ son enteros en el rango $1,2,\ldots,1981$ satisfaciendo $(n^2-mn-m^2)^2=1$.

Toma $r$ tal que $1\le r\le n$, y considera todos los subconjuntos de $r$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. Cada subconjunto tiene un elemento más pequeño. Sea $F(n,r)$ la media aritmética de estos elementos más pequeños. Demuestra que: \[ F(n,r)={n+1\over r+1}. \]

Considera un punto variable $P$ dentro de un triángulo dado $ABC$. Sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde el punto $P$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Encuentra todos los puntos $P$ que minimizan la suma \[ {BC\over PD}+{CA\over PE}+{AB\over PF}. \]

Un baile con 2018 parejas tiene lugar en La Habana. Para el baile, 2018 puntos distintos etiquetados $0, 1,\ldots, 2017$ se marcan en una circunferencia y cada pareja se coloca en un punto diferente. Para $i\geq1$, sea $s_i=i\ (\textrm{mod}\ 2018)$ y $r_i=2i\ (\textrm{mod}\ 2018)$. El baile comienza en el minuto $0$. En el $i$ -ésimo minuto, la pareja en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja en el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determine cuántas parejas permanecen al final. Nota: Si $r_i=s_i$, la pareja en $s_i$ se queda allí y no se retira.

Sea $n$ un entero positivo, $1<n<2018$. Para cada $i=1, 2, \ldots ,n$ definimos el polinomio $S_i(x)=x^2-2018x+l_i$, donde $l_1, l_2, \ldots, l_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\cdots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demuestre que al menos uno de los $l_i$ es mayor o igual que $2018$.

Determine todas las ternas $(p, q, r)$ de enteros positivos, donde $p, q$ también son primos, tales que $\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2$.

Sean $x, y$ números reales tales que $x-y, x^2-y^2, x^3-y^3$ son todos números primos. Demuestre que $x-y=3$.