Sea $\Delta ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sea $T$ el simétrico de $C$ con respecto a $O$ y $T'$ la reflexión de $T$ con respecto a la línea $AB$. La línea $BT'$ interseca a $\omega$ nuevamente en $R$. La perpendicular a $CT$ que pasa por $O$ interseca a la línea $AC$ en $L$. Sea $N$ la intersección de las líneas $TR$ y $AC$. Demuestre que $\overline{CN}=2\overline{AL}$.

Hay 2018 cartas numeradas del 1 al 2018. Los números de las cartas son visibles en todo momento. Tito y Pepe juegan un juego. Comenzando con Tito, se turnan para escoger cartas hasta que terminan. Luego, cada jugador suma los números de sus cartas y quien tenga una suma par gana. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora y descríbala.

Sin superponerse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no son necesariamente todas del mismo tamaño. [asy]\nunitsize(.85cm);\ndraw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1));\ndraw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed);\nlabel('\footnotesize $a$',(0.5,0),S);\nlabel('\footnotesize $a$',(0,0.5),W);\nlabel('\footnotesize $a$',(1,0.5),E);\nlabel('\footnotesize $a$',(0,1.5),E);\nlabel('\footnotesize $a$',(1,1.5),W);\nlabel('\footnotesize $a$',(-0.5,2),N);\nlabel('\footnotesize $a$',(0.5,2),N);\nlabel('\footnotesize $a$',(1.5,2),N);\n[/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentra el valor más pequeño de $\lambda$ tal que cada configuración de baldosas tiene un área total menor que $\lambda$ .

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Considere $n$ progresiones aritméticas infinitas de enteros no negativos con la propiedad de que entre cada $k$ enteros no negativos consecutivos, al menos uno de los $k$ enteros pertenece a una de las $n$ progresiones aritméticas. Sean $d_1,d_2,\ldots,d_n$ las diferencias de las progresiones aritméticas, y sea $d=\min\{d_1,d_2,\ldots,d_n\}$ . En términos de $n$ y $k$ , ¿cuál es el valor máximo posible de $d$ ?

Dentro del ángulo recto $XAY$ , donde $A$ es el vértice, hay un semicírculo $\Gamma$ cuyo centro se encuentra en $AX$ y que es tangente a $AY$ en el punto $A$ . Describa una construcción con regla y compás para la tangente a $\Gamma$ de manera que el triángulo encerrado por la tangente y el ángulo $XAY$ tenga un área mínima.

Un tablero de ajedrez de $8\times 8$ debe ser cubierto (es decir, completamente cubierto sin superposición) con piezas de las siguientes formas: [asy]\nunitsize(.6cm);\ndraw(unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(1,0)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(2,0)*unitsquare,linewidth(1));\nlabel('\footnotesize $1\times 3$ rectangle',(1.5,0),S);\ndraw(shift(8,1)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(9,1)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(10,1)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(9,0)*unitsquare,linewidth(1));\nlabel('\footnotesize T-shaped tetromino',(9.5,0),S);\n[/asy] El rectángulo de $1\times 3$ cubre exactamente tres cuadrados del tablero de ajedrez, y el tetromino en forma de T cubre exactamente cuatro cuadrados del tablero de ajedrez. (a) ¿Cuál es el número máximo de piezas que se pueden usar? (b) ¿De cuántas maneras se puede cubrir el tablero de ajedrez usando este número máximo de piezas?

El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\Gamma$ . Sea $\Gamma_a$ el círculo internamente tangente a $\Gamma$ y también tangente a los lados $AB$ y $AC$ . Sea $A'$ el punto de tangencia de $\Gamma$ y $\Gamma_a$ . Define $B'$ y $C'$ de manera similar. Demuestra que $AA'$ , $BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Sean $x$ , $y$ , y $z$ números reales positivos que satisfacen $x^2+y^2+z^2=1$ . Demuestra que \[x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{1}{3}.\]

Encuentre todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que $P (0)\ne 0$ y $$P^n(m)\cdot P^m(n)$$ es un cuadrado de un entero para todos los enteros no negativos $n, m$ .\n Observación: Para un entero no negativo $k$ y un entero $n$ , $P^k(n)$ se define como sigue: $P^k(n) = n$ si $k = 0$ y $P^k(n)=P(P(^{k-1}(n))$ si $k >0$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sea su incírculo tangente a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ respectivamente. Sea la línea $AD$ que intersecta este incírculo en el punto $X$ . Se elige un punto $M$ en la línea $FX$ de tal manera que el cuadrilátero $AFEM$ sea cíclico. Sean las líneas $AM$ y $DE$ que se intersectan en el punto $L$ y sea $Q$ el punto medio del segmento $AE$ . Se da un punto $T$ en la línea $LQ$ tal que el cuadrilátero $ALDT$ sea cíclico. Sea $S$ un punto tal que el cuadrilátero $TFSA$ sea un paralelogramo, y sea $N$ el segundo punto de intersección de la circunferencia del triángulo $ASX$ y la línea $TS$ . Demuestre que las circunferencias de los triángulos $TAN$ y $LSA$ son tangentes entre sí.