Un partido de fútbol amistoso dura 90 minutos. En este problema, consideramos uno de los equipos, entrenado por Sir Alex, que juega con 11 jugadores en todo momento.\n a) Sir Alex quiere que cada uno de sus jugadores juegue el mismo número entero de minutos, pero cada jugador tiene que jugar menos de 60 minutos en total. ¿Cuál es el número mínimo de jugadores requerido?\n b) Para el número de jugadores encontrados en a), ¿cuál es el número mínimo de sustituciones requeridas, para que cada jugador juegue el mismo número de minutos?\n Observación: Las sustituciones sólo pueden tener lugar después de un número entero positivo de minutos, y los jugadores que han salido antes pueden volver al juego tantas veces como sea necesario. No hay límite en el número de sustituciones permitidas.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que la desigualdad $$f(x)+yf(f(x))\le x(1+f(y))$$ se cumple para todos los enteros positivos $x, y$ .

Los números reales $x,y,z$ satisfacen $x^2+y^2+z^2=3.$ Demuestre que la desigualdad $x^3-(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)\le 3\sqrt{3}.$ y encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Denotemos por $H$ y $M$ el ortocentro de $ABC$ y el punto medio del lado $BC,$ respectivamente. Sea $Y$ un punto en $AC$ tal que $YH$ es perpendicular a $MH$ y sea $Q$ un punto en $BH$ tal que $QA$ es perpendicular a $AM.$ Sea $J$ el segundo punto de intersección de $MQ$ y el círculo con diámetro $MY.$ Demuestre que $HJ$ es perpendicular a $AM.$

Un hexágono regular en el plano se llama dulce si su área es igual a $1$ . ¿Es posible colocar $2000000$ hexágonos dulces en el plano de tal manera que la unión de sus interiores sea un polígono convexo de área al menos $1900000$ ?\n Observación: Un subconjunto $S$ del plano se llama convexo si para cada par de puntos en $S$ , cada punto en el segmento de línea recta que une el par de puntos también pertenece a $S$ . Los hexágonos pueden superponerse.

Resolver en enteros la ecuación : $x^2y+y^2=x^3$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales que $10^5$ , ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $\mathcal{E}$ el conjunto de todos los puntos contenidos en los tres segmentos $AB$ , $BC$ , y $CA$ (incluidos $A$ , $B$ , y $C$ ) . Determinar si, para cada partición de $\mathcal{E}$ en dos subconjuntos disjuntos, al menos uno de los dos subconjuntos contiene los vértices de un triángulo rectángulo.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, no dos de los cuales tienen un divisor común mayor que $1$ . Demostrar que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no puede expresarse en la forma $xbc+yca+zab$ , donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanarios desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$ , mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$ . Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$ . Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$ .