Hallar todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$ ; y $f(x)\to 0$ cuando $x\to\infty$ .

Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se intersecan en el punto $K.$ Los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ son $M$ y $N,$ respectivamente. Los círculos circunscritos $ADM$ y $BCM$ se intersecan en los puntos $M$ y $L.$ Demuestre que los puntos $K ,L ,M,$ y $ N$ se encuentran en un círculo. (Se supone que todos los puntos son diferentes.)

Sea $n$ un entero, $n>1.$ Un elemento del conjunto $M=\{ 1,2,3,\ldots,n^2-1\}$ se llama bueno si existe algún elemento $b$ de $M$ tal que $ab-b$ es divisible por $n^2.$ Además, un elemento $a$ se llama muy bueno si $a^2-a$ es divisible por $n^2.$ Sea $g$ el número de elementos buenos en $M$ y $v$ el número de elementos muy buenos en $M.$ Demuestre que \[v^2+v \leq g \leq n^2-n.\]

Encuentre el número máximo de conjuntos que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:\ni) cualquiera de los conjuntos consta de $4$ elementos,\nii) dos conjuntos diferentes cualesquiera tienen exactamente $2$ elementos comunes,\niii) no hay dos elementos comunes a todos los conjuntos.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un par ordenado $(a;b)$ de números $a,b\in\mathbb{N}$ se llama interesante, si para cualquier $n\in\mathbb{N}$ existe $k\in\mathbb{N}$ tal que el número $a^k+b$ es divisible por $2^n$. Encuentra todos los pares ordenados interesantes de números.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen la igualdad, \[f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y)\] para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$ .

Dado un trapecio $ABCD$, sean $M$ y $N$ los puntos medios de las bases $AD$ y $BC$, respectivamente.\na) Demostrar que el trapecio es isósceles si se sabe que el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados laterales pertenece al segmento $MN$.\nb) ¿Sigue siendo válida la afirmación del punto a) si solo se sabe que el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados laterales pertenece a la línea $MN$?

$ABCD$ es un cuadrilátero inscrito en un círculo $\Gamma$. Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en $E$ y las líneas $AD$ y $BC$ se intersecan en $F$. Demostrar que el círculo con diámetro $EF$ y el círculo $\Gamma$ son ortogonales.

Sean $x,y,z$ reales positivos para los cuales: $\sum (xy)^{2}=6xyz$ Demostrar que: $\sum \sqrt{\frac{x}{x+yz}}\geq \sqrt{3}$ .

Determinar el entero más pequeño $k$ para el cual la siguiente historia podría ser verdad: En un torneo de ajedrez con $24$ jugadores, cada par de jugadores juega al menos $2$ y como máximo $k$ partidas entre sí. Al final del torneo, resulta que cada jugador ha jugado un número diferente de partidas.