¿Existen dos polinomios mónicos reales $P(x)$ y $Q(x)$ de grado 3, tales que las raíces de $P(Q(X))$ son nueve enteros no negativos distintos por pares que suman $72$? (En un polinomio mónico de grado 3, el coeficiente de $x^{3}$ es $1$).

En una gran fiesta de Nochevieja, cada invitado recibe dos sombreros: uno rojo y otro azul. Al comienzo de la fiesta, todos los invitados se ponen el sombrero rojo. Varias veces durante la noche, el anunciador anuncia el nombre de uno de los invitados y, en ese momento, el nombrado y cada uno de sus amigos cambian el sombrero que llevan por el otro color. Demuestra que el anunciador puede hacer que todos los invitados lleven el sombrero azul cuando termine la fiesta. Nota: Todos los invitados permanecen en la fiesta de principio a fin.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo de radio $1$ , de modo que $AB$ es un diámetro de la circunferencia y $CD = 1$ . Un punto variable $X$ se mueve a lo largo de la semicircunferencia determinada por $AB$ que no contiene a $C$ ni a $D$ . Determine la posición de $X$ para la cual la suma de las distancias de $X$ a las líneas $BC, CD$ y $DA$ es máxima.

Prueba la siguiente desigualdad: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1 \cdot 2}+\sqrt[3]{2^2} } + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3 \cdot 4}+\sqrt[3]{4^2} }+...+ \frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999 \cdot 1000}+\sqrt[3]{1000^2} }> \frac{9}{2}$$ (El miembro de la izquierda tiene 500 fracciones.)

Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: $A$ elige un punto, con coordenadas enteras, en el plano y lo colorea de verde, luego $B$ elige $10$ puntos de coordenadas enteras, aún no coloreados, y los colorea de amarillo. El juego siempre continúa con las mismas reglas; $A$ y $B$ eligen uno y diez puntos sin colorear y los colorean de verde y amarillo, respectivamente. \na. El objetivo de $A$ es lograr $111^2$ puntos verdes que son las intersecciones de $111$ líneas horizontales y $111$ líneas verticales (paralelas a los ejes de coordenadas). El objetivo de $B$ es detenerlo. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia que le asegure lograr su objetivo. \nb. El objetivo de $A$ es lograr $4$ puntos verdes que son los vértices de un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas. El objetivo de $B$ es detenerlo. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia que le asegure lograr su objetivo.

Sean $p_1, p_2, ..., p_k$ $k$ primos diferentes. Consideramos todos los enteros positivos que usan solo estos primos (no necesariamente todos) en su factorización prima, y ordenamos esos números en orden creciente, formando una secuencia infinita: $a_1 < a_2 < ... < a_n < ...$ Prueba que, para cada número $c$ , existe $n$ tal que $a_{n+1} -a_n > c$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno cuyo ortocentro es $H$ . $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . $N$ es el punto donde el segmento $AM$ interseca la circunferencia determinada por $B, C$ , y $H$ . Muestra que las líneas $HN$ y $AM$ son perpendiculares.

Sea $Q$ un tablero de $(2n+1) \times (2n+1)$. Algunas de sus celdas están coloreadas de negro de tal manera que cada tablero de $2 \times 2$ de $Q$ tiene como máximo $2$ celdas negras. Hallar la máxima cantidad de celdas negras que el tablero puede tener.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ un punto en $AC$ . Si $\angle{CBD} - \angle{ABD} = 60^{\circ}, \hat{BDC} = 30^{\circ}$ y también $AB \cdot BC = BD^{2}$ , determinar la medida de todos los ángulos del triángulo $ABC$.

Un número $\overline{abcd}$ se llama equilibrado si $a+b=c+d$ . Hallar todos los números equilibrados de 4 dígitos que son la suma de dos números palíndromos.