Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto dentro de él tal que la raíz cuadrada de la distancia de $P$ a uno de los lados es igual a la suma de las raíces cuadradas de las distancias de $P$ a los otros dos lados. Hallar el lugar geométrico de $P$.

Los números $1$ a $4^{n}$ están escritos en una pizarra. En cada paso, Pedro borra dos números $a$ y $b$ de la pizarra, y escribe en su lugar el número $\frac{ab}{\sqrt{2a^2+2b^2}}$ . Pedro repite este procedimiento hasta que sólo queda un número. Demostrar que este número es menor que $\frac{1}{n}$ , no importa qué números Pedro eligió en cada paso.

Hallar todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$ tales que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2011$.

Sea $g(x) = ax^2 + bx + c$ una función cuadrática con coeficientes reales tal que la ecuación $g(g(x)) = x$ tiene cuatro raíces reales distintas. Pruebe que no existe una función $f$ : $R--R$ tal que $f(f(x)) = g(x)$ para todo $x$ real

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , sea $L$ el punto medio del arco $BC$ (el punto $A$ no está en este arco) de la circunferencia circunscrita $w$ ( $ABC$ ) . Sea $E$ un punto en $AC$ donde $AE = \frac{AB + AC}{2}$ , la línea $EL$ interseca a $w$ en $P$ . Si $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$ , respectivamente, pruebe que $AL, BP$ y $MN$ son concurrentes

Sean $a, b$ y $c$ enteros positivos tales que $a^2 + b^2 + 1 = c^2$ . Pruebe que $[a/2] + [c / 2]$ es par. Nota: $[x]$ es la parte entera de $x$ .

Sea $n>1$ un entero. Para cada número $(x_1, x_2,\dots, x_n)$ con $x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots +x_n^2=1$ , denotemos $m=\min\{|x_i-x_j|, 0<i<j<n+1\}$. Encuentre el valor máximo de $m$ .

En un triángulo $ABC$ , se consideran los puntos $D, E$ y $F$ en los lados $BC, CA$ y $AB$ respectivamente, tales que las áreas de los triángulos $AFE, BFD$ y $CDE$ son iguales. Pruebe que $$\frac{(DEF) }{ (ABC)} \ge \frac{1}{4}$$ Nota: $(XYZ)$ es el área del triángulo $XYZ$ .

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que el número $b^2 + (b +1)^2 +...+ (b + a)^2-3$ es múltiplo de $5$ y $a + b$ es impar. Calcular la cifra de las unidades del número $a + b$ escrito en notación decimal.

Una calculadora tiene dos operaciones $A$ y $B$ e inicialmente muestra el número $1$ . La operación $A$ transforma $x$ en $x+1$ y la operación B transforma $x$ en $\dfrac{x}{x+1}$ . a) Muestra todas las formas en que podemos obtener el número $\dfrac{20}{23}$ . b) Para cada racional $r \neq 1$ , determina si es posible obtener $r$ usando solo las operaciones $A$ y $B$ .