Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con lado 1. Los puntos $X, Y$ están en los lados $CD$ y $DE$ respectivamente, de tal manera que el perímetro de $DXY$ es $2$ . Determina $\angle XAY$ .

Un entero positivo con 3 dígitos $\overline{ABC}$ es $Lusófono$ si $\overline{ABC}+\overline{CBA}$ es un cuadrado perfecto. Encuentra todos los números $Lusófonos$.

Un entero $n$ se llama $k$ - especial, con $k$ un entero positivo, si es la suma de los cuadrados de $k$ enteros consecutivos. Por ejemplo, $13$ es $2$ - especial, ya que $13=2^2+3^2$ , y $2$ es $3$ - especial, ya que $2=(-1)^2+0^2+1^2$ . a) Demuestra que no hay un cuadrado perfecto que sea $4$ - especial. b) Encuentra un cuadrado perfecto que sea $I^2$ - especial, para algún entero positivo impar $I$ con $I\ge 3$ .

Sea $D$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $AD=CD$ , $\angle DAB=70^{\circ}$ , $\angle DBA=30^{\circ}$ y $\angle DBC=20^{\circ}$ . Encuentra la medida del ángulo $\angle DCB$ .

Hace mucho tiempo, existían marcianos con $3$ colores diferentes: rojo, verde y azul. Como Marte fue devastado por una guerra intergaláctica, solo sobrevivieron $2$ marcianos de cada color. Para reconstruir la población marciana, decidieron usar una máquina que transforma dos marcianos de distintos colores en cuatro marcianos de color diferente a los dos iniciales. Por ejemplo, si un marciano rojo y un marciano azul usan la máquina, se transformarán en cuatro marcianos verdes. a) ¿Es posible que, después de usar esa máquina un número finito de veces, tengamos $2022$ marcianos rojos, $2022$ marcianos verdes y $2022$ marcianos azules? b) ¿Es posible que, después de usar esa máquina un número finito de veces, tengamos $2021$ marcianos rojos, $2022$ marcianos verdes y $2023$ marcianos azules?

Dado un tetraedro $ABCD$ , en el que $AB=CD= 13 , AC=BD=14$ y $AD=BC=15$ . Demuestra que los centros de la esfera inscrita y la esfera que lo rodea coinciden, y encuentra los radios de estas esferas.

En el conjunto de todos los números reales positivos se define la operación $a * b = a^b$ . Encuentra todos los números racionales positivos para los cuales $a * b = b * a$.

Dada la secuencia $f_1(a)=sin(0,5\pi a)$ $f_2(a)=sin(0,5\pi (sin(0,5\pi a)))$ $...$ $f_n(a)=sin(0,5\pi (sin(...(sin(0,5\pi a))...)))$ , donde $a$ es cualquier número real. ¿A qué límite aspiran los miembros de esta secuencia cuando $n \to \infty$ ?

Resuelve la ecuación $\sqrt{1981-\sqrt{1996+x}}=x+15$

Dado un segmento de longitud $7\sqrt3$ . ¿Es posible usar solo el compás para construir un segmento de longitud $\sqrt7$ ?