Nueve puntos del plano, situados en los vértices de un nonágono regular, están conectados por pares mediante segmentos, cada uno de los cuales está coloreado de rojo o azul. Se sabe que en cualquier triángulo con vértices en los vértices del nonágono al menos un lado es rojo. Demuestra que hay cuatro puntos, dos cualesquiera de los cuales están conectados por líneas rojas.

Dado un conjunto finito de números reales $A$, que no contiene $0$ ni $1$ y que posee la propiedad: si el número a pertenece a $A$, entonces los números $\frac{1}{a}$ y $1-a$ también pertenecen a $A$. ¿Cuántos números hay en el conjunto $A$?

Demuestra la desigualdad $x_1y_1+x_2y_2+x_2y_1+2x_2y_2\le 1996$ si $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\le 998$ y $y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2\le 3992$ .

Determina los polinomios P de dos variables tal que: a.) para cualquier número real $t,x,y$ tenemos $P(tx,ty) = t^n P(x,y)$ donde $n$ es un entero positivo, el mismo para todos $t,x,y;$ b.) para cualquier número real $a,b,c$ tenemos $P(a + b,c) + P(b + c,a) + P(c + a,b) = 0;$ c.) $P(1,0) =1.$

¿Se pueden dibujar en un círculo de radio $1$ un número de $1975$ puntos distintos, de modo que la distancia (medida en la cuerda) entre dos puntos cualesquiera (de los puntos considerados) sea un número racional?

Cuando $4444^{4444}$ se escribe en notación decimal, la suma de sus dígitos es $ A.$ Sea $B$ la suma de los dígitos de $A.$ Encuentra la suma de los dígitos de $ B.$ ( $A$ y $B$ se escriben en notación decimal.)

En el plano de un triángulo $ABC,$ en su exterior $,$ dibujamos los triángulos $ABR, BCP, CAQ$ tal que $\angle PBC = \angle CAQ = 45^{\circ}$ , $\angle BCP = \angle QCA = 30^{\circ}$ , $\angle ABR = \angle RAB = 15^{\circ}$ . Demuestra que a.) $\angle QRP = 90\,^{\circ},$ y b.) $QR = RP.$

Sea $a_{1}, \ldots, a_{n}$ una secuencia infinita de enteros estrictamente positivos, tal que $a_{k} < a_{k+1}$ para cualquier $k.$ Demuestra que existe un infinito de términos $ a_{m},$ que pueden ser escritos como $a_m = x \cdot a_p + y \cdot a_q$ con $x,y$ enteros estrictamente positivos y $p \neq q.$

Consideramos dos sucesiones de números reales $x_{1} \geq x_{2} \geq \ldots \geq x_{n}$ e $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \ldots \geq y_{n}.$ Sea $z_{1}, z_{2}, .\ldots, z_{n}$ una permutación de los números $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}.$ Demuestra que $\sum \limits_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{n}$ $( x_{i} - z_{i})^{2}.$

Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A$. Desde cualquier vértice excepto $E$ salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestra que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]