Encuentra el número máximo $ c$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tenga \[ \{n \cdot \sqrt{2}\} \geq \frac{c}{n}\] donde $ \{n \cdot \sqrt{2}\} = n \cdot \sqrt{2} - [n \cdot \sqrt{2}]$ y $ [x]$ es la parte entera de $ x.$ Determina para este número $ c,$ todo $ n \in \mathbb{N}$ para el cual $ \{n \cdot \sqrt{2}\} = \frac{c}{n}.$

¿Existen dos secuencias de números reales $ \{a_i\}, \{b_i\},$ $ i \in \mathbb{N},$ que satisfagan las siguientes condiciones: \[ \frac{3 \cdot \pi}{2} \leq a_i \leq b_i\] y \[ \cos(a_i x) - \cos(b_i x) \geq - \frac{1}{i}\] $ \forall i \in \mathbb{N}$ y para todo $ x,$ con $ 0 < x < 1?$

Sean $ Ax,By$ dos semi-rectas perpendiculares, no complanarias, tales que $ AB$ es su perpendicular común, y sean $ M$ y $ N$ los dos puntos variables en $ Ax$ y $ Bx,$ respectivamente, tales que $ AM + BN = MN.$ (a) Demuestre que existen infinitas rectas coplanares con cada una de las rectas $ MN.$ (b) Demuestre que existen infinitas rotaciones alrededor de un eje fijo $ \delta$ que mapea la recta $ Ax$ sobre una recta coplanaria con cada una de las rectas $ MN.$

Para cada secuencia $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ de números primos naturales no nulos, $ \{1, 2, \ldots, n\}$ dispuestos en cualquier orden, denotamos por $ f(s)$ la suma de los valores absolutos de las diferencias entre dos miembros consecutivos de $ s.$ Encuentre el valor máximo de $ f(s)$ donde $ s$ recorre el conjunto de todas tales secuencias, i.e. para todas las secuencias $ s$ con las propiedades dadas.

Sea $ E$ el conjunto de todos los triángulos cuyos únicos puntos con coordenadas enteras (en el sistema de coordenadas cartesianas en el espacio), en su interior o en sus lados, son sus tres vértices, y sea $ f$ la función del área de un triángulo. Determine el conjunto de valores $ f(E)$ de $ f.$

Sea $ n > 1$ un entero fijo. Definimos las funciones $ f_0(x) = 0,$ $ f_1(x) = 1 - \cos(x),$ y para $ k > 0,$ \[ f_{k+1}(x) = f_k(x) \cdot \cos(x) - f_{k-1}(x).\] Si $ F(x) = \sum^n_{r=1} f_r(x),$ pruebe que (a) $ 0 < F(x) < 1$ para $ 0 < x < \frac{\pi}{n+1},$ y (b) $ F(x) > 1$ para $ \frac{\pi}{n+1} < x < \frac{\pi}{n}.$

El vértice $ A$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es equidistante del circuncentro $ O$ y el ortocentro $ H.$ Determine todos los valores posibles para la medida del ángulo $ A.$

Para cada número complejo distinto de cero $ z,$ sea $\arg(z)$ el número real único $ t$ tal que $ -\pi < t \leq \pi$ y $ z = |z|(\cos(t) + \textrm{i} sin(t)).$ Dado un número real $ c > 0$ y un número complejo $ z \neq 0$ con $\arg z \neq \pi,$ defina \[ B(c, z) = \{b \in \mathbb{R} \ ; \ |w - z| < b \Rightarrow |\arg(w) - \arg(z)| < c\}.\] Determine las condiciones necesarias y suficientes, en términos de $ c$ y $ z,$ tales que $ B(c, z)$ tiene un elemento máximo, y determine cuál es este elemento máximo en este caso.

Un reloj analógico preciso de 12 horas tiene una manecilla horaria, una manecilla minutera y una manecilla segundera que están alineadas a las 12:00 en punto y hacen una revolución en 12 horas, 1 hora y 1 minuto, respectivamente. Es bien sabido, y no es difícil de probar, que no hay un momento en que las tres manecillas estén espaciadas uniformemente alrededor del reloj, con cada ángulo de separación $ \frac{2 \cdot \pi}{3}.$ Sean $ f(t), g(t), h(t)$ las respectivas desviaciones absolutas de los ángulos de separación de \frac{2 \cdot \pi}{3} a $ t$ horas después de las 12:00 en punto. ¿Cuál es el valor mínimo de $ max\{f(t), g(t), h(t)\}$?

Si en un cuadrilátero convexo $ABCD, E$ y $F$ son los puntos medios de los lados $BC$ y $DA$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $EDA$ y $FBC$ es igual al área del cuadrilátero.