Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $ \Gamma$ la semicircunferencia dibujada exteriormente al triángulo, teniendo $BC$ como diámetro. Demuestre que si una línea que pasa por $A$ triseca $BC,$ también triseca el arco $ \Gamma.$

Sea $A$ una matriz de $n \times n$ cuyos elementos son números reales no negativos. Asuma que $A$ es una matriz no singular y todos los elementos de $A^{-1}$ son números reales no negativos. Demuestre que cada fila y cada columna de $A$ tiene exactamente un elemento no nulo.

Una función aritmética es una función con valores reales cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Defina el producto de convolución de dos funciones aritméticas $f$ y $g$ como la función aritmética $f * g$ , donde \[ (f * g)(n) = \sum_{ij=n} f(i) \cdot g(j),\] y $f^{*k} = f * f * \ldots * f$ ( $k$ veces) Decimos que dos funciones aritméticas $f$ y $g$ son dependientes si existe un polinomio no trivial de dos variables $P(x, y) = \sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j$ con coeficientes reales tal que \[ P(f,g) = \sum_{i,j} a_{ij} f^{*i} * g^{*j} = 0,\] y decimos que son independientes si no son dependientes. Sean $p$ y $q$ dos primos distintos y sea \[ f_1(n) = \begin{cases} 1 & \text{ si } n = p, \\ 0 & \text{ de otro modo}. \end{cases}\] \[ f_2(n) = \begin{cases} 1 & \text{ si } n = q, \\ 0 & \text{ de otro modo}. \end{cases}\] Demuestre que $f_1$ y $f_2$ son independientes.

Sea $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que (i) $f$ es estrictamente creciente; (ii) $f(mn) = f(m)f(n) \quad \forall m, n \in \mathbb{N};$ y (iii) si $m \neq n$ y $m^n = n^m,$ entonces $f(m) = n$ o $f(n) = m.$ Determine $f(30).$

Sea $n$ un entero positivo, $X = \{1, 2, \ldots , n\},$ y $k$ un entero positivo tal que $ \frac{n}{2} \leq k \leq n.$ Determine, con prueba, el número de todas las funciones $f : X \mapsto X$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $f^2 = f;$ (ii) el número de elementos en la imagen de $f$ es $k;$ (iii) para cada $y$ en la imagen de $f,$ el número de todos los puntos $x \in X$ tales que $f(x)=y$ es a lo sumo $2.$

Sean $ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \in \mathbb{Z}^+$ dados y sea N $ (a_1, a_2, a_3)$ el número de soluciones $ (x_1, x_2, x_3)$ de la ecuación \[ \sum^3_{k=1} \frac{a_k}{x_k} = 1.\] donde $ x_1, x_2,$ y $ x_3$ son enteros positivos. Demuestra que \[ N(a_1, a_2, a_3) \leq 6 a_1 a_2 (3 + ln(2 a_1)).\]

Demuestra que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

Demuestra que $ a < b$ implica que $ a^3 - 3a \leq b^3 - 3b + 4.$ ¿Cuándo ocurre la igualdad?

Para $ \phi: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{Z}$ definamos \[ M_{\phi} = \{f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{Z}, f(x) > f(\phi(x)), \forall x \in \mathbb{N} \}.\] Demuestra que si $ M_{\phi_1} = M_{\phi_2} \neq \emptyset,$ entonces $ \phi_1 = \phi_2.$ ¿Esta propiedad sigue siendo verdadera si \[ M_{\phi} = \{f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}, f(x) > f(\phi(x)), \forall x \in \mathbb{N} \}?\]

Encuentra el conjunto de todos los $ a \in \mathbb{R}$ para los cuales no existe una secuencia infinita $ (x_n)_{n \geq 0} \subset \mathbb{R}$ que satisfaga $ x_0 = a,$ y para $ n = 0,1, \ldots$ tenemos \[ x_{n+1} = \frac{x_n + \alpha}{\beta x_n + 1}\] donde $ \alpha \beta > 0.$