155 pájaros $ P_1, \ldots, P_{155}$ están sentados en el borde de un círculo $ C.$ Dos pájaros $ P_i, P_j$ son mutuamente visibles si el ángulo en el centro $ m(\cdot)$ de sus posiciones $ m(P_iP_j) \leq 10^{\circ}.$ Encuentre el número más pequeño de pares de pájaros mutuamente visibles, es decir, el conjunto mínimo de pares $ \{x,y\}$ de pares de pájaros mutuamente visibles con $ x,y \in \{P_1, \ldots, P_{155}\}.$ Se asume que una posición (punto) en $ C$ puede ser ocupada simultáneamente por varios pájaros, por ejemplo, todos los pájaros posibles.

Demuestre que la secuencia $ (a_n)_{n \geq 0,}, a_n = [n \cdot \sqrt{2}],$ contiene un número infinito de cuadrados perfectos.

Considere en un plano $ P$ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4$ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j)$ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestre que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\}$ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

Sea $ m$ un entero positivo impar, $ m > 2.$ Encuentre el entero positivo más pequeño $ n$ tal que $ 2^{1989}$ divide a $ m^n - 1.$

Sea un $ (2n +1)-$ g on regular inscrito en un círculo de radio $ r.$ Consideramos todos los triángulos cuyos vértices son de los del $ (2n + 1)-$ g on regular. (a) ¿Cuántos triángulos entre ellos contienen el centro del círculo en su interior? (b) Encuentre la suma de las áreas de todos esos triángulos que contienen el centro del círculo en su interior.

Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determina el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ y } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.

Sean $ a, b \in \mathbb{Z}$ que no son cuadrados perfectos. Demuestra que si \[ x^2 - ay^2 - bz^2 + abw^2 = 0\] tiene una solución no trivial en enteros, entonces también lo hace \[ x^2 - ay^2 - bz^2 = 0.\]

Sea $ A$ un conjunto de enteros positivos tal que ningún entero positivo mayor que 1 divide a todos los elementos de $ A.$ Demuestra que cualquier entero positivo suficientemente grande puede escribirse como una suma de elementos de $ A.$ (Los elementos pueden aparecer varias veces en la suma.)

Una función con valores reales $ f$ en $ \mathbb{Q}$ satisface las siguientes condiciones para arbitrarios $ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}:$ (i) $ f(0) = 0,$ (ii) $ f(\alpha) > 0 \text{ si } \alpha \neq 0,$ (iii) $ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha)f(\beta),$ (iv) $ f(\alpha + \beta) \leq f(\alpha) + f(\beta),$ (v) $ f(m) \leq 1989$ $ \forall m \in \mathbb{Z}.$ Demuestra que \[ f(\alpha + \beta) = \max\{f(\alpha), f(\beta)\} \text{ si } f(\alpha) \neq f(\beta).\]

Una balanza tiene un plato izquierdo, un plato derecho y un puntero que se mueve a lo largo de una regla graduada. Como muchas otras balanzas de tiendas de comestibles, esta funciona de la siguiente manera: Un objeto de peso $ L$ se coloca en el plato izquierdo y otro de peso $ R$ en el plato derecho, el puntero se detiene en el número $ R - L$ en la regla graduada. Hay $ n, (n \geq 2)$ bolsas de monedas, cada una contiene $ \frac{n(n-1)}{2} + 1$ monedas. Todas las monedas se ven iguales (forma, color, etc.). $ n-1$ bolsas contienen monedas reales, todas con el mismo peso. La otra bolsa (no sabemos cuál es) contiene monedas falsas. Todas las monedas falsas tienen el mismo peso, y este peso es diferente del peso de las monedas reales. Una pesada legal consiste en colocar un cierto número de monedas en uno de los platos, poner un cierto número de monedas en el otro plato y leer el número dado por el puntero en la regla graduada. Con solo dos pesadas legales es posible identificar la bolsa que contiene monedas falsas. Encuentra una manera de hacer esto y explícalo.