Dados dos números naturales $ w$ y $ n,$ la torre de $ n$ $ w's$ es el número natural $ T_n(w)$ definido por \[ T_n(w) = w^{w^{\cdots^{w}}},\] con $ n$ $ w's$ en el lado derecho. Más precisamente, $ T_1(w) = w$ y $ T_{n+1}(w) = w^{T_n(w)}.$ Por ejemplo, $ T_3(2) = 2^{2^2} = 16,$ $ T_4(2) = 2^{16} = 65536,$ y $ T_2(3) = 3^3 = 27.$ Encontrar la torre más pequeña de $ 3's$ que excede la torre de $ 1989$ $ 2's.$ En otras palabras, encontrar el valor más pequeño de $ n$ tal que $ T_n(3) > T_{1989}(2).$ Justificar su respuesta.

Sea $ P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que \[ P(m_1) = P(m_2) = P(m_3) = P(m_4) = 7\] para enteros distintos dados $ m_1,m_2,m_3,$ y $ m_4.$ Demostrar que no existe un entero m tal que $ P(m) = 14.$

Sean $ a, b, c, r,$ y $ s$ números reales. Demostrar que si $ r$ es una raíz de $ ax^2+bx+c = 0$ y s es una raíz de $ -ax^2+bx+c = 0,$ entonces \[ \frac{a}{2} x^2 + bx + c = 0\] tiene una raíz entre $ r$ y $ s.$

Poldavia es un reino extraño. Su unidad monetaria es el bourbaki y existen sólo dos tipos de monedas: de oro y de plata. Cada moneda de oro vale $ n$ bourbakis y cada moneda de plata vale $ m$ bourbakis ( $ n$ y $ m$ son enteros positivos). Usando monedas de oro y plata, es posible obtener sumas como 10000 bourbakis, 1875 bourbakis, 3072 bourbakis, y así sucesivamente. Pero el sistema monetario de Poldavia no es tan extraño como parece: (a) Demostrar que es posible comprar cualquier cosa que cueste un número entero de bourbakis, siempre y cuando uno pueda recibir cambio. (b) Demostrar que cualquier pago por encima de $ mn-2$ bourbakis se puede hacer sin la necesidad de recibir cambio.

Resolver en el conjunto de los números reales la ecuación \[ 3x^3 - [x] = 3,\] donde $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$

Para puntos $ A_1, \ldots ,A_5$ en la esfera de radio 1, ¿cuál es el valor máximo que $ min_{1 \leq i,j \leq 5} A_iA_j$ puede tomar? Determine todas las configuraciones para las cuales se alcanza este máximo. (O: determine el diámetro de cualquier conjunto $ \{A_1, \ldots ,A_5\}$ para el cual se alcanza este máximo.)

Se nos da una colección finita de segmentos en el plano, de longitud total 1. Demuestre que existe una línea $ l$ tal que la suma de las longitudes de las proyecciones de los segmentos dados a la línea $ l$ es menor que $ \frac{2}{\pi}.$

A cada par $ (x, y)$ de elementos distintos de un conjunto finito $ X$ se le asigna un número $ f(x, y)$ igual a 0 o 1 de tal manera que $ f(x, y) \neq f(y, x)$ $ \forall x,y$ y $ x \neq y.$ Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) $ X$ es la unión de dos subconjuntos no vacíos disjuntos $ U, V$ tales que $ f(u, v) = 1$ $ \forall u \in U, v \in V.$ (ii) Los elementos de $ X$ pueden ser etiquetados $ x_1, \ldots , x_n$ de modo que \[ f(x_1, x_2) = f(x_2, x_3) = \cdots = f(x_{n-1}, x_n) = f(x_n, x_1) = 1.\] Formulación alternativa: En un torneo de n participantes, cada par juega un juego (sin empates). Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) La liga puede dividirse en dos grupos no vacíos de tal manera que cada jugador en uno de estos grupos haya ganado contra cada jugador del otro. (ii) Todos los participantes pueden ser clasificados del 1 al $ n$ de modo que el jugador $ i-$ésimo gana el juego contra el $ (i + 1)$ésimo y el jugador $ n-$ésimo gana contra el primero.

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$ donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demuestre que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

Dado que \[ \frac{\cos(x) + \cos(y) + \cos(z)}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin(x)+ \sin(y) + \sin(z)}{\sin(x + y + z)} = a,\] demuestre que \[ \cos(y+z) + \cos(z+x) + \cos(x+y) = a.\]