Sean $ k$ y $ s$ enteros positivos. Para conjuntos de números reales $ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\}$ y $ \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s\}$ que satisfacen \[ \sum^s_{i=1} \alpha^j_i = \sum^s_{i=1} \beta^j_i \quad \forall j = \{1,2 \ldots, k\}\] escribimos \[ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\} \overset{k}{=} \{\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_s\}.\] Demuestre que si \[ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\} \overset{k}{=} \{\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_s\}\] y $ s \leq k,$ entonces existe una permutación $ \pi$ de $ \{1, 2, \ldots , s\}$ tal que \[ \beta_i = \alpha_{\pi(i)} \quad \forall i = 1,2, \ldots, s.\]

Demuestre que en el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tal que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

Demuestre que la intersección de un plano y un tetraedro regular puede ser un triángulo obtusángulo y que el ángulo obtuso en cualquier triángulo de este tipo es siempre menor que $ 120^{\circ}.$

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ que sean colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestre que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo de radio $ AB$ tal que $ BC = a, CD = b,$ $ DA = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2} \cdot a$ Para cada punto $ M$ en el semicírculo con radio $ AB$ que no contiene a $ C$ y $ D,$ denote por $ h_1, h_2, h_3$ las distancias desde $ M$ a las líneas rectas (lados) $ BC, CD,$ y $ DA.$ Encuentre el máximo de $ h_1 + h_2 + h_3.$

Un número natural está escrito en cada cuadrado de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido es agregar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos cuadrados son adyacentes si tienen un lado común.) Encuentre una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones.

Sean $ l_i,$ $ i = 1,2,3$ tres líneas rectas no colineales en el plano, que construyen un triángulo, y $ f_i$ las reflexiones axiales en $ l_i$ . Demuestre que para cada punto $ P$ en el plano existen interconexiones finitas (composiciones) de las reflexiones de $ f_i$ que llevan $ P$ al triángulo construido por las líneas rectas $ l_i,$ i.e. mapea ese punto a un punto interior al triángulo.

Dado un polígono convexo $ A_1A_2 \ldots A_n$ con área $ S$ y un punto $ M$ en el mismo plano, determine el área del polígono $ M_1M_2 \ldots M_n,$ donde $ M_i$ es la imagen de $ M$ bajo la rotación $ R^{\alpha}_{A_i}$ alrededor de $ A_i$ por $ \alpha_i, i = 1, 2, \ldots, n.$

Demuestre que para $ 0 < k \leq 1$ y $ a_i \in \mathbb{R}^+,$ $ i = 1,2 \ldots, n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ \left( \frac{a_1}{a_2 + \ldots + a_n} \right)^k + \ldots + \left( \frac{a_n}{a_1 + \ldots + a_{n-1}} \right)^k \geq \frac{n}{(n-1)^k}.\]

Una familia de conjuntos $ A_1, A_2, \ldots ,A_n$ tiene las siguientes propiedades: (i) Cada $ A_i$ contiene 30 elementos. (ii) $ A_i \cap A_j$ contiene exactamente un elemento para todo $ i, j, 1 \leq i < j \leq n.$ Determine el mayor $ n$ posible si la intersección de todos estos conjuntos es vacía.