Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos tales que: (i) entre tres cualquiera de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Da un ejemplo de tal figura.

Se da un $ n-$ gono regular $ A_1A_2A_3 \cdots A_k \cdots A_n$ inscrito en un círculo de radio $ R$. Si $ S$ es un punto en el círculo, calcula \[ T = \sum^n_{k=1} SA^2_k.\]

Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanares con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestra que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tal que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\]

Sean $ P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x)$ polinomios reales, es decir, tienen coeficientes reales. Demuestra que existen polinomios reales $ A_r(x),B_r(x) \quad (r = 1, 2, 3)$ tales que \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_1(x) \right)^2 + \left( B_1(x) \right)^2\] \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_2(x) \right)^2 + x \left( B_2(x) \right)^2\] \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_3(x) \right)^2 - x \left( B_3(x) \right)^2\]

El conjunto $ \{a_0, a_1, \ldots, a_n\}$ de números reales satisface las siguientes condiciones: (i) $ a_0 = a_n = 0,$ (ii) para $ 1 \leq k \leq n - 1,$ \[ a_k = c + \sum^{n-1}_{i=k} a_{i-k} \cdot \left(a_i + a_{i+1} \right)\] Demuestra que $ c \leq \frac{1}{4n}.$

Sea $ n = 2k - 1$ donde $ k \geq 6$ es un entero. Sea $ T$ el conjunto de todas las $ n-$tuplas $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ donde $ x_i \in \{0,1\}$ $ \forall i = \{1,2, \ldots, n\}$ Para $ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in T$ y $ y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in T$ sea $ d(x,y)$ denota el número de enteros $ j$ con $ 1 \leq j \leq n$ tal que $ x_i \neq x_j$ , en particular $ d(x,x) = 0.$ Suponga que existe un subconjunto $ S$ de $ T$ con $ 2^k$ elementos que tiene la siguiente propiedad: Dado cualquier elemento $ x \in T,$ existe un elemento único $ y \in S$ con $ d(x, y) \leq 3.$ Demuestre que $ n = 23.$

Sea $ \alpha$ la raíz positiva de la ecuación $ x^2 - 1989x - 1 = 0.$ Demuestre que existen infinitos números naturales $ n$ que satisfacen la ecuación: \[ \lfloor \alpha n + 1989 \alpha \lfloor \alpha n \rfloor \rfloor = 1989n + \left( 1989^2 + 1 \right) \lfloor \alpha n \rfloor.\]

Sea $ f$ una función de los números reales a los números reales tal que $ f(1) = 1, f(a+b) = f(a)+f(b)$ para todo $ a, b,$ y $ f(x)f \left( \frac{1}{x} \right) = 1$ para todo $ x \neq 0.$ Demuestre que $ f(x) = x$ para todos los números reales $ x.$

Sea $ f(x) = \prod^n_{k=1} (x - a_k) - 2,$ donde $ n \geq 3$ y $ a_1, a_2, \ldots,$ an son enteros distintos. Suponga que $ f(x) = g(x)h(x),$ donde $ g(x), h(x)$ son ambos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Demuestre que $ n = 3.$

Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con prueba, los valores de $m$ y $ n.$