Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ represente el número de triángulos distintos, incongruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ e.g., $ t(3) = 1.$ Pruebe que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\]

Un cuadrilátero bicéntrico es uno que se puede inscribir y circunscribir alrededor de un círculo, es decir, existen tanto el incírculo como el circuncírculo. Demuestre que para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales.

Sean $ A,B$ dos puntos fijos distintos en el espacio. Sean $ X, P$ puntos variables (en el espacio), mientras que $ K,N, n$ denotan enteros positivos. Llamamos $ (X,K,N,P)$ admisibles si \[ (N - K) \cdot PA + K \cdot PB \geq N \cdot PX.\] Llamamos $ (X,K,N)$ admisibles si $ (X,K,N,P)$ es admisible para todas las elecciones de $ P.$ Llamamos $ (X,N)$ admisibles si $ (X,K,N)$ es admisible para alguna elección de $ K$ en el intervalo $ 0 < K < N.$ Finalmente, llamamos $ X$ admisibles si $ (X,N)$ es admisible para alguna elección de $ N, (N > 1).$ Determine: \n(a) el conjunto de $ X$ admisibles;\n(b) el conjunto de $ X$ para los cuales $ (X, 1989)$ es admisible pero no $ (X, n), n < 1989.$

Sea S el punto de intersección de las dos líneas $ l_1 : 7x - 5y + 8 = 0$ y $ l_2 : 3x + 4y - 13 = 0.$ Sea $ P = (3, 7), Q = (11, 13),$ y sean $ A$ y $ B$ puntos en la línea $ PQ$ tales que $ P$ está entre $ A$ y $ Q,$ y $ B$ está entre $ P$ y $ Q,$ y tal que \[ \frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BQ} = \frac{2}{3}.\] Sin encontrar las coordenadas de $ B$ encuentre las ecuaciones de las líneas $ SA$ y $ SB.$

Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Pruebe: \n(a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas.\n(b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$\n(c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución más grande y el valor máximo de la solución más pequeña.

Dados dos números distintos $ b_1$ y $ b_2$ , su producto se puede formar de dos maneras: $ b_1 \times b_2$ y $ b_2 \times b_1.$ Dados tres números distintos, $ b_1, b_2, b_3,$ su producto se puede formar de doce maneras: $ b_1\times(b_2 \times b_3);$ $ (b_1 \times b_2) \times b_3;$ $ b_1 \times (b_3 \times b_2);$ $ (b_1 \times b_3) \times b_2;$ $ b_2 \times (b_1 \times b_3);$ $ (b_2 \times b_1) \times b_3;$ $ b_2 \times(b_3 \times b_1);$ $ (b_2 \times b_3)\times b_1;$ $ b_3 \times(b_1 \times b_2);$ $ (b_3 \times b_1)\times b_2;$ $ b_3 \times(b_2 \times b_1);$ $ (b_3 \times b_2) \times b_1.$ ¿De cuántas maneras se puede formar el producto de $ n$ letras distintas?

Las expresiones $ a + b + c, ab + ac + bc,$ y $ abc$ se denominan expresiones simétricas elementales en las tres letras $ a, b, c;$ simétricas porque si intercambiamos dos letras cualesquiera, digamos $ a$ y $ c,$ las expresiones siguen siendo algebraicamente las mismas. El grado común de sus términos se llama orden de la expresión. Sea $ S_k(n)$ denota la expresión elemental en $ k$ letras diferentes de orden $ n;$ por ejemplo $ S_4(3) = abc + abd + acd + bcd.$ Hay cuatro términos en $ S_4(3).$ ¿Cuántos términos hay en $ S_{9891}(1989)?$ (Suponga que tenemos $ 9891$ letras diferentes).

Sean $ A$ y $ B$ puntos fijos distintos en el eje $ X$, ninguno de los cuales coincide con el origen $ O(0, 0),$ y sea $ C$ un punto en el eje $ Y$ de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Sea $ g$ una línea que pasa por el origen $ O(0, 0)$ y es perpendicular a la línea $ AC.$ Encuentre el lugar geométrico del punto de intersección de las líneas $ g$ y $ BC$ si $ C$ varía a lo largo del eje $ Y$. Dé una ecuación y una descripción del lugar geométrico.

Sea $ f(x) = a \sin^2x + b \sin x + c,$ donde $ a, b,$ y $ c$ son números reales. Encuentre todos los valores de $ a, b$ y $ c$ tales que las siguientes tres condiciones se satisfacen simultáneamente: (i) $ f(x) = 381$ si $ \sin x = \frac{1}{2}.$ (ii) El máximo absoluto de $ f(x)$ es $ 444.$ (iii) El mínimo absoluto de $ f(x)$ es $ 364.$

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la línea $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demuestre que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]