Alice tiene dos urnas. Cada urna contiene cuatro bolas y en cada bola está escrito un número natural. Ella extrae una bola de cada urna al azar, anota la suma de los números escritos en ellas y vuelve a colocar las bolas en las urnas de las que las sacó. Esto lo repite un gran número de veces. Bill, al examinar los números registrados, observa que la frecuencia con la que ocurre cada suma es la misma que si fuera la suma de dos números naturales extraídos al azar del rango 1 al 4. ¿Qué puede deducir sobre los números de las bolas?

Una secuencia de números reales $ x_0, x_1, x_2, \ldots$ se define de la siguiente manera: $ x_0 = 1989$ y para cada $ n \geq 1$ \[ x_n = - \frac{1989}{n} \sum^{n-1}_{k=0} x_k.\] Calcule el valor de $ \sum^{1989}_{n=0} 2^n x_n.$

Hay n coches esperando en distintos puntos de una pista de carreras circular. En la señal de salida cada coche arranca. Cada coche puede elegir arbitrariamente cuál de las dos direcciones posibles tomar. Cada coche tiene la misma velocidad constante. Cuando dos coches se encuentran, ambos cambian de dirección (pero no de velocidad). Demuestre que en algún momento cada coche está de vuelta en su punto de partida.

Conectando los vértices de un $ n$ - gono regular obtenemos un $ n$ - gono cerrado (no necesariamente convexo). Demuestre que si $ n$ es par, entonces hay dos segmentos paralelos entre los segmentos de conexión y si $ n$ es impar entonces no puede haber exactamente dos segmentos paralelos.

Defina la secuencia $ (a_n)$ por $ \sum_{d|n} a_d = 2^n.$ Demuestre que $ n|a_n.$

Pruebe la identidad \[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \ldots + \frac{1}{478} + \frac{1}{479} - \frac{2}{480} \n= 2 \cdot \sum^{159}_{k=0} \frac{641}{(161+k) \cdot (480-k)}.\]

Encuentre todos los números cuadrados $S_1$ y $S_2$ tales que $S_1 - S_2 = 1989$.

Dado un triángulo acutángulo, encuentre un punto dentro del triángulo tal que la suma de las distancias desde este punto a los tres vértices sea la menor.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que \[ \left(\sqrt{2} + 1 \right)^n = \sqrt{m} + \sqrt{m-1}\] para algún entero positivo $m$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $D, E, F, M, N$ y $P$ los puntos medios de $BC, CA, AB, FD, FB$ y $DC$ respectivamente.\n(a) Demuestre que los segmentos de línea $AM, EN$ y $FP$ son concurrentes.\n(b) Sea $O$ el punto de intersección de $AM, EN$ y $FP$. Encuentre $OM : OF : ON : OE : OP : OA$.