Sea $ g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $ \omega \in \mathbb{C}$ , $ a \in \mathbb{C}$ , $ \omega^3 = 1$ , y $ \omega \ne 1$ . Muestre que existe una y sólo una función $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que \[ f(z) + f(\omega z + a) = g(z),z\in \mathbb{C} \]

En un triángulo $ ABC$ para el cual $ 6(a+b+c)r^2 = abc$ se cumple y donde $ r$ denota el inradio de $ ABC,$ consideramos un punto M en el círculo inscrito y las proyecciones $ D,E, F$ de $ M$ en los lados $ BC=a, AC=b,$ y $ AB=c$ respectivamente. Sean $ S, S_1$ las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ DEF$ respectivamente. Encuentre los valores máximo y mínimo del cociente $ \frac{S}{S_1}$

Sea $ L$ el conjunto de todos los puntos reticulares del plano (puntos con coordenadas enteras). Demuestre que para cualesquiera tres puntos $ A,B,C$ de $ L$ existe un cuarto punto $ D,$ diferente de $ A,B,C,$ tal que los interiores de los segmentos $ AD,BD,CD$ no contienen puntos de $ L.$ ¿Es cierto el enunciado si se consideran cuatro puntos de $ L$ en lugar de tres?

Sean $ b_1, b_2, \ldots, b_{1989}$ números reales positivos tales que las ecuaciones \[ x_{r-1} - 2x_r + x_{r+1} + b_rx_r = 0 \quad (1 \leq r \leq 1989)\] tienen una solución con $ x_0 = x_{1989} = 0$ pero no todos los $ x_1, \ldots, x_{1989}$ son iguales a cero. Pruebe que \[ \sum^{1989}_{k=1} b_k \geq \frac{2}{995}.\]

Los enteros $ c_{m,n}$ con $ m \geq 0, n \geq 0$ están definidos por \[ c_{m,0} = 1 \quad \forall m \geq 0, c_{0,n} = 1 \quad \forall n \geq 0,\] y \[ c_{m,n} = c_{m-1,n} - n \cdot c_{m-1,n-1} \quad \forall m > 0, n > 0.\] Pruebe que \[ c_{m,n} = c_{n,m} \quad \forall m > 0, n > 0.\]

Sean $ a, b, c, d$ enteros positivos tales que $ ab = cd$ y $ a+b = c - d.$ Demuestre que existe un triángulo rectángulo cuya medida de los lados (en alguna unidad) son enteros y cuya medida del área es $ ab$ unidades cuadradas.

Sea $ ABC$ un triángulo. Demuestre que hay un único punto $ U$ en el plano de $ ABC$ tal que existen números reales $ \alpha, \beta, \gamma, \delta$ no todos cero, tales que \[ \alpha PL^2 + \beta PM^2 + \gamma PN^2 + \delta UP^2\] es constante para todos los puntos $ P$ del plano, donde $ L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $ P$ a $ BC,CA,AB$ respectivamente. Identifique $ U.$

$ \forall n > 0, n \in \mathbb{Z},$ existen enteros únicamente determinados $ a_n, b_n, c_n \in \mathbb{Z}$ tales que \[ \left(1 + 4 \cdot \sqrt[3]{2} - 4 \cdot \sqrt[3]{4} \right)^n = a_n + b_n \cdot \sqrt[3]{2} + c_n \cdot \sqrt[3]{4}.\] Demuestre que $ c_n = 0$ implica $ n = 0.$

Sea $ ABC$ un triángulo equilátero con longitud de lado igual a $ N \in \mathbb{N}.$ Considere el conjunto $ S$ de todos los puntos $ M$ dentro del triángulo $ ABC$ que satisfacen \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{N} \cdot \left(n \cdot \overrightarrow{AB} + m \cdot \overrightarrow{AC} \right)\] con $ m, n$ enteros, $ 0 \leq n \leq N,$ $ 0 \leq m \leq N$ y $ n + m \leq N.$ Cada punto de S está coloreado en uno de los tres colores azul, blanco, rojo, de tal manera que (i) ningún punto de $ S \cap [AB]$ está coloreado de azul (ii) ningún punto de $ S \cap [AC]$ está coloreado de blanco (iii) ningún punto de $ S \cap [BC]$ está coloreado de rojo Demuestre que existe un triángulo equilátero con las siguientes propiedades: (1) los tres vértices del triángulo son puntos de $ S$ y están coloreados de azul, blanco y rojo, respectivamente. (2) la longitud de los lados del triángulo es igual a 1. Variante: Mismo problema pero con un tetraedro regular y cuatro colores diferentes utilizados.

Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ satisfaciendo las siguientes condiciones: (i) Los lados de cada rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de dos rectángulos diferentes $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestre que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: Mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tienen al menos un lado entero.