Sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros positivos distintos que no contienen un $9$ en sus representaciones decimales. Demuestra que la siguiente desigualdad se cumple \[ \sum^n_{i=1} \frac{1}{a_i} \leq 30.\]

Hay algunos niños y niñas sentados en una matriz cuadrática de $n \times n$. Conocemos el número de niñas en cada columna y fila y cada línea paralela a las diagonales de la matriz. ¿Para qué $n$ es suficiente esta información para determinar las posiciones exactas de las niñas en la matriz? ¿Para qué asientos podemos decir con seguridad que una niña se sienta allí o no?

Sea $a \in \mathbb{R}, 0 < a < 1,$ y $f$ una función continua en $[0, 1]$ que satisface $f(0) = 0, f(1) = 1,$ y \[ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a) f(x) + a f(y) \quad \forall x,y \in [0,1] \text{ with } x \leq y.\] Determine $f \left( \frac{1}{7} \right).$

Demuestra que dos puntos cualesquiera que se encuentren dentro de un $n-$ gono regular $E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares que se encuentran dentro de $E$ y se encuentran en un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

Una secuencia $a_1, a_2, a_3, \ldots$ se define recursivamente por $a_1 = 1$ y $a_{2^k+j} = -a_j$ $(j = 1, 2, \ldots, 2^k).$ Demuestra que esta secuencia no es periódica.

Para un triángulo $ ABC,$ sea $ k$ su circuncírculo con radio $ r.$ Las bisectrices de los ángulos internos $ A, B,$ y $ C$ del triángulo intersecan respectivamente el círculo $ k$ nuevamente en los puntos $ A', B',$ y $ C'.$ Demuestra la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\ ] donde $ Q$ y $ P$ son las áreas de los triángulos $ A'B'C'$ y $ABC$ respectivamente.

Sea $ n \leq 44, n \in \mathbb{N}.$ Demuestra que para cualquier función $ f$ definida sobre $ \mathbb{N}^2$ cuyas imágenes están en el conjunto $ \{1, 2, \ldots , n\},$ existen cuatro pares ordenados $ (i, j), (i, k), (l, j),$ y $ (l, k)$ tales que \[ f(i, j) = f(i, k) = f(l, j) = f(l, k),\ ] en los que $ i, j, k, l$ se eligen de tal manera que existen números naturales $ m, p$ que satisfacen \[ 1989m \leq i < l < 1989 + 1989m\ ] y \[ 1989p \leq j < k < 1989 + 1989p.\ ]

Sea $ P(x)$ un polinomio tal que se satisfacen las siguientes desigualdades: \[ P(0) > 0;\ ] \[ P(1) > P(0);\ ] \[ P(2) > 2P(1) - P(0);\ ] \[ P(3) > 3P(2) - 3P(1) + P(0);\ ] y también para cada número natural $ n,$ \[ P(n+4) > 4P(n+3) - 6P(n+2)+4P(n + 1) - P(n).\ ] Demuestra que para cada número natural positivo $ n,$ $ P(n)$ es positivo.

Dada la ecuación \[ y^4 + 4y^2x - 11y^2 + 4xy - 8y + 8x^2 - 40x + 52 = 0,\ ] encuentra todas las soluciones reales.

Dada la ecuación \[ 4x^3 + 4x^2y - 15xy^2 - 18y^3 - 12x^2 + 6xy + 36y^2 + 5x - 10y = 0,\ ] encuentra todas las soluciones enteras positivas.